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§. 208. 4. Capitel. Zahlenlehre. 
zu finden, sofern man mit irgend einem einfachen Bruche desselben 
abbrechen will, der Vereinfachung wegen: 
den Zähler des Isten — A, den Nenner des Isten — A' 
des 2ten — B, deS 2ten — B' 
des 3ten — 6, des 3ten C' 
des 4teii — D, des 4teii = D' 
des 5ten — E, u. s. f. des 5ten E'u.s.f. 
so sind die gesuchten Näherungswerthe des KettenbruchS mit Ein» 
fchluß des anfänglichen, der eine ganze Zahl oder Null ist: 
cB + A 
cB'+A'' 
bA+1 
bA -J- 0 ' 
dC + B 
dC' + B'' 
d. h. man multiplicire, von de» beiden ersten Näherungswerthen 
ausgehend, Zähler und Nenner jedes einzelnen mit dem hinzukom 
menden Bruchnenner, und füge jenem Produkte den Zähler, diesem 
den Nenner des vorhergehenden Näherungswerthes hinzu. Die 
Richtigkeit des Bildungsgesetzes erkennt man ohne Mühe für die 
ersten N. W.; allgemein wird sie dadurch erwiesen, daß man unter 
der Voraussetzung, der (m)te Näherungswerth des KettenbruchS sei 
nach demselben gebildet, d. h. ^ ^ den folgenden (n)ten 
findet. Dieses geschieht nun, indem für den un 
vollständigen Bruchnenner m der vollständigere Werth m + «n 
die Stelle gesetzt wird. Denn alsdann ist: 
N Ll 
+ K 
mnL + L +n K 
N ’ “ I/I 
( m + i-) +K ' 
mnL'+L'+nK' 
n (raL + K) + L 
d (in L ,- f-KO “H L' 
und da (mL + K) = M, (mL' + KO — M' vorausgesetzt wurde, 
so findet sich das obige Gesetz allgemein bestätigt. 
Die successiven N. W. des aus 
3307 
764 
entstandenen Kettenbruchs 
für welchen a — 4, b — 3, c — 22, d — 1, 
ist, sind demnach: 
(») 
h_ 
1 ' 
(b) 
13 
(c) 
13.22 H- 4 290 
3.22+1“ 67' (d) 
6 — 4 und f = 2 
290.1 +13 303 
67.1 + 3 “70'