4. Capitel. Zahlenlehre.
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§. 210. _
§. 210. Gränzen der Annähernng. Bezeichnet man den
W
wahren Werth des Kettenbrnchs mit ^7, so ist zunächst a oder
A W 1 B W
W 7 ' h'"gegen a + "j^ oder , weil der Nenner b
durch Vernachlässigung des angehängten Bruches zu klein ist. Sei
M w N W
allgem ii so muß der folgende N. W.^ ^ e ‘ n '
beim Fortschritt von einem zum andern für den zu kleinen Ketten-
bruch-Nenner m der zu große -l- substituirt wird, der den
neuen N. W. nothwendig im entgegengesetzten Sinne unrichtig oder
vom Werthe abweichend macht. Nun ist die Reihe der N. W.
nach §. 200:
/f , A a B A . 1 C B 1
(1) A' ” 1 5 B A H “ A B ’ C “ B B' C' U> '' iü ''
A W BW
worin, weil oder die Glieder von ungerader
A c E
Zahl n -¡^7 ^7 . . . . sämmtlich zu klein, die von gerader An
zahl^ ^ ^7 ... . hingegen sämmtlich zu groß sind. Der Feh
ler, welchen man durch Annahme eines dieser N. W. für den wirk-
W
lichen des Kettenbruchs begeht, ist also, weil -^7 zwischen je zwei
benachöarten N. W. liegt, respective geringer, als die Dif
ferenzen
1111.
1 ■' A' B B C" C' D" I) E' '•
und wird um so unbedeutender, je weiter man fortschreitet, wie er
z. B. für den 5ten N. W. des oben gegebenen Kettenbrnches we
niger, als 2tz5iö8 betragen muß.
In dem Vorhergehenden liegen folgende Sätze über die Ketten-
brüche enthalten:
1) Die Näherungswerthe £/ §, § eines Kettenbruchs
nehmen im Vergleich mit seinem wahren Werthe abwechselnd
ab und zu, und zwar sind die von ungerader Zahl immer kleiner,
die von gerader Zahl aber größer, als jener Werth.
2) Jeder Näherungswerth weicht von dem vollständigen Werthe
eines Kettenbruchs um weniger ab, als ein Bruch, der 1 zum
Zähler und das Product seines Nenners mit dem des folgen
den N. W. zum Nenner hat.
