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222 1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithm. K. 21 l. 
3) 
4) 
Die Differenzen der snccessiven Näherungswerthe eines Ketten, 
bruchs bilden eine Reihe fortwährend abnehmender ächter Brüche. 
Denn da (nach §. 208.) C';>A', D';>B', E';>C' u. s. f., so 
folgt, daß in (II) A'B'<B'C'; B'C'<CD' u. s. w. 
N 
Jeder Näherungswerth ^ kommt dem vollständigen Werthe 
Q 
des Kettenbruches näher, als irgend ein anderer Bruch q. 
von kleinerem Nenner, der zwischen ihm und dem vorher- 
M 
gehenden N. W. ^ liegen könnte. 
Denn angenommen, es gäbe irgend einen Bruch 
bezeichneten Art, so wäre 
M ft M _ N 
M M' N 
der be- 
folglich auch 
Mft — Mft _ MN' — M'N 
d. i. < 
M' N' 
M' <1 ^ M' N' 
und daher (Mft' —M'ft) N' C ft'. 
Dieses ist aber unmöglich, da N';>ft’ vorausgesetzt wurde, 
der Factor von N' aber auch nicht — 0 sein kann, weil in die- 
ft \j 
sem Falle gegen die Voraussetzung ^7 — ^7 sein würde. 
5) Folglich ist jeder Näherungswerth eines Kettenbruchs von dessen 
wahren Werthe um weniger verschieden, als irgend ein durch 
kleinere Zahlen ausgedrückter Bruch. 
§. 211. Näherungswerthe großer Brüche. Vermöge der 
im Vorstehenden entwickelten Sätze kann man jeden Bruch, der durch 
sehr große Zahlen ausgedrückt ist, in einer Reihe einfacherer Brüche 
genähert darstellen, indem man (§. 207.) die Nenner eines Ketten- 
bruchs durch fortgesetzte Division sucht, und (nach §. 208.) die suc 
cessiven N. Werthe desselben bestimmt, deren Genauigkeit endlich aus 
dem Products ihrer Nenner (nach §. 210.) leicht ermessen werden 
kann. Sei z. B. das Verhältniß des Kreisumfanges zum Durch- 
W 31415926535 _ 
zur Vereinfachung des Ausdrucks