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2. Abtheilung. Geometrie.
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denen nur eine der beiden Flächendimensionen, die Länge, geblieben
ist. Die Linie endlich findet ihre Gränze in dem Punkte, der keine
Ausdehnung mehr haben kann und sich folglich, als etwas Einfaches
und Untheilbares, aller weiteren räumlichen Betrachtung entzieht.
Es ergeben sich demnach Körper, Flächen und Linien als die drei
einzig möglichen Ranmformen, unter denen irgend ein begränztes
Ausgedehntes im Raum gedacht werden kann.
§. 219. Bildung der Raumformen. Soll die Vorstel
lung bestimmter Raumformen (z. B. der Kugel oder des Würfels)
nicht blos als etwas Gegebenes aufgenommen, sondern vielmehr
selbstthätig von der Einbildungskraft erzeugt werden, so muß sie
von derjenigen des Punktes ausgehen und durch dessen Fortschrei
ten im Raume anfangs Linien, dann eben so aus Linien Flächen
und endlich aus diesen körperliche Gestatten entstehen lassen oder
construiren. Dergleichen Constructionen, wie verwickelt sie auch
erscheinen mögen, lassen sich stets auf die einfachen, unmittelbaren
Vorstellungen einer fortschreitenden und einer drehenden Be
wegung zurückführen, die man daher als Grundconstructionen
der Geometrie bezeichnen darf. Da nun als Größe des Fortschritts
eines Punktes die Linie, als Größe der Drehung einer Linie der
Winkel hervorgeht, so wird man zunächst zur Betrachtung dieser
beiden Grundgebilde veranlaßt, durch deren Verbindung überhaupt
geschlossene Gebilde oder Figuren entstehen. Die Geometrie,
als Wissenschaft der räumlichen Construction, wird demnach
von den einfachsten Liniengebilden ausgehen, und durch deren Ver
knüpfung und Erweiterung zu immer ausgedehnteren und beziehungs-
reicheren, den Raumfiguren, fortschreiten müssen. Die einfachste aller
Linien aber ist die Gerade, so wie die einfachste aller denkbaren
Flächen die Ebene, so daß mit den, in einer Ebene liegenden, gera
den Linien die Untersuchung nothwendig beginnen muß, woraus sich
dann die Trennung der Wissenschaft in die Geometrie der Ebene
und diejenige des Raumes überhaupt als eine, dem Gegenstände
ihrer Betrachtungen durchaus angemessene, ergiebt.
§. 220. Vergleichung der Raumformen. Die Grund
bedingung jeder Vergleichung von Größen, daß das Verglichene
gleichartig sei, erlaubt in Absicht der Raumformen nur eine Ver
gleichung von Körpern mit Körpern, von Flächen mit Flächen und
endlich von Linien mit Linien, nie aber eine solche, wobei die Raum
formen eine verschiedene Anzahl von Dimensionen besitzen. Bezeich
net man nun allgemein bestimmte gleichartige und mit einander zu
vergleichende Gebilde durch A, B, C, D, . . . . so sind unter densel
ben folgende Arten von Uebereinstimmung denkbar:
1) A und B können gleich groß oder von gleichem räumli
chen Inhalte, wenn auch an Gestalt verschieden, sein (wie sich z. B.