Geometrie der Ebene.
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§. 221.
eine Kugel denken laßt, die einem Würfel von gegebener Größe an
Inhalt gleich sei). Die Andeutung für diesen Fall ist die allgemeine
der Gleichheit: A = B.
2) A und C können von der nämlichen Gestalt, wenn gleich
dem räumlichen Inhalte nach verschieden sein (wie etwa zwei Kreise
von verschiedener Größe). In diesem Falle werden beide Gebilde
einander ähnlich genannt und man wendet dafür die Bezeichnung
A oo B an. Offenbar ist aber der Begriff der Aehnlichkeit, als
einer Uebereinstimmung der Gestalt, nicht ein unmittelbar gegebener,
sondern erst durch die Betrachtung seiner Merkmale genauer zu be
stimmen.
3) A und D können zugleich an Größe und Gestalt über
einstimmen, also einander durchaus gleich sein (wie etwa zwei
Kugeln von gleichem Inhalte). Nach dieser Vorstellung lassen beide
sich zu einem einzigen Gebilde in einander gelegt denken und
werden kongruent genannt. Die Andeutung einer solchen völli
gen Gleichheit in Absicht auf Gestalt und Größe oder Congruenz
i st A £2 I ).
Es ergeben sich hieraus für die geometrischen Untersuchungen
drei verschiedene Richtungen, nämlich: die Betrachtung der absolu
ten Gleichheit zweier Gebilde, die der Gleichheit der Gestalt
und endlich die der Gleichheit der Größe, oder mit andern Wor
ten: die Betrachtungen über Congruenz, Aehnlichkeit und Inhaltsbe
stimmung.
§. 221. Geometrische Beweisführung. Da jedes räum
liche Gebilde in einer sichtbaren Darstellung (durch Zeichnung
oder Modell) nur als ein einzelnes erscheint, statt dessen eben so
wohl unzählige andere (an Gestalt oder an Größe verschiedene)
möglich wären, so ist jene Darstellung so zu behandeln, wie es mit
jeder, den vorgestellten Bedingungen entsprechenden, andern auf
gleiche Weise geschehen könnte. Dadurch aber erhält die gewählte
besondere Darstellung die Bedeutung einer beliebigen von der
vorausgesetzten Beschaffenheit, und erscheint in sofern als völlig
allgemeine Darstellung des betrachteten Falles. Soll nun an
ihr der Beweis für bestimmte geometrische Lehren geführt werden,
so geschieht dieses:
1) direct, indem man durch logisch richtige Folgerungen aus
der (nie zu bestreitenden) Voraussetzung und aus Wahrheiten, welche
an sich einleuchtend oder bereits anderweitig erwiesen sind, die Noth
wendigkeit des Behaupteten darthut;
2) indirekt, indem man das Gegentheil des Behaupteten
vorläufig als möglich annimmt, dann aber nachweist, daß die daraus
mit Nothwendigkeit sich ergebenden Folgerungen entweder der Vor
aussetzung oder andern unbestreitbaren Wahrheiten widersprechen,