238 2. Abth. Geometrie. Geometrie der Ebene. §. 225. 
einen derselben nimmt. Die Linie A ist alsdann Dividend, m 
aber Divisor zu nennen und die Division als Theilung (§. 14.) 
zu betrachten. Wären der Divisoren mehre, z. B. m, v, p, q gege 
ben, so würde die Theilung von A entweder allmählig, oder auch 
auf einmal nämlich durch Theilung in (m X n X p X q) gleiche 
Theile, vorgenommen werden können. 
Anmerkung. Die Theilung einer Geraden in eine vorgeschriebene 
Menge gleicher Theile muß vorläufig versuchsweise geschehen, bis 
spätere Betrachtungen über die Congruen; und die Aehnlichkeit der 
Figuren directe Theilungsmethoden an die Hand geben. sAufg. 3 — 
6, §. 234.] 
§. 225. Messnng gerader Linien. Um die Länge einer 
begränzten Geraden A zu bestimmen, muß man eine andere B zu 
ihrem Maaße oder zur Längen-Ein heit wählen, und diese wie 
derholt ans ihr abtragen. Die Angabe w, wie oft das Maaß in der 
gegebenen Geraden enthalten sei, ist dann der Zahlen werth der 
selben. Der Werth einer geraden Linie wird durch eine ganze Zahl 
ausgedrückt, wenn das gewählte Maaß, ohne einen Rest zu lasten, 
wiederholt in derselben abgetragen werden kann; bleibt hingegen ein 
Stück A' der Geraden A übrig, so ist eine Theilung des Maaßes B 
in kleinere Theile nöthig, um mit diesen die Messung des Nestes 
vorzunehmen, und man erhält als Werth desselben eine gebrochene 
Zahl. Wird eine gerade Linie durch verschiedene Maaße B, C, D 
. . . gemessen, so ändern sich nothwendig die Angaben ihrer Länge, 
wonach der Zahlenwerth einer Linie nur dann Bedeutung hat, wenn 
das Maaß, worauf er stch bezieht, als gegeben anzusehen ist. 
Um-das größte gemeinschaftliche Maaß zweier Geraden 
A und B (Fig. 1.) zu finden, messe man die größere B durch die 
kleinere A, diese durch den Rest B' der ersten, dann B' durch den 
entstehenden Rest A' der zweiten n. s. f. immer das frühere Maaß 
mit dem Reste des Gemessenen, bis kein Stück mehr übrig bleibt. 
Sei die Gerade A in der größeren B z. B. 2mal abgetragen, 
und nach 3maligem Abtragen von B' auf A noch der Rest A' ge 
blieben, dieser aber in B' genau 4 mal enthalten, so hat man folgende 
Gleichungen: 
(1) B' = 4 . A'. 
(2) A =s 3 . B' -+- A' ss 3.4A' -+- A' = 13 . A'. 
(3) B — 2 . A H- B = 2.13A' Hh 4A = 30 . A'. 
Demnach enthalten die Linien A und B das nämliche Maaß, jene 
13, diese 30mal. Zugleich muß A' für beide das größte gemein 
schaftliche Maaß sein: denn angenommen, es gebe eine solche Linie 
C>A', so müßte C in A und B, also nach (3) auch in B, und 
nach (2) oder (1) auch in A’ f d. h. es müßte eine größere Linie in