1. Capitel. Linien und Winkel. 
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§. 228. 
einer kleineren enthalten sein, weiches unmöglich ist. Zwei Linien, 
die ein gemeinschaftliches Maaß haben, oder durch eine dritte sich 
ohne Rest messen lassen, heißen commensurabel. (Aufg. 7 — 
9, §. 234.) 
§. 226. Jncommensurable Linien. Wenn bei solchen wie 
derholten Messen kein Rest gefunden werden kann, der für beide Li 
nien A und B gemeinschaftliches Maaß wäre, so nennt man diesel 
ben incommensurabel. In diesem Falle muß man sich begnügen, 
die Länge der Linie B durch hinlänglich kleine Theile von A zu 
bestimmen, und diese Theilung von A kann (wenigstens in der Vor 
stellung) so weit getrieben werden, daß der vernachlässigte Rest von 
B kleiner, als irgend eine gegebene Länge sei. Nennen wir 
einen, dieser Bedingung genügenden kleinen Theil k, und finden, 
daß derselbe mehr, als m und weniger, als (m-t-l)mal in B ent 
halten sei, so reicht es hin, die Länge der incommensnrabeln Linie B 
nähernngsweise =m.k zu setzen, obgleich sie >* m. k und 
<(m + l)k ist. 
§. 227. Messnng krummer Linien. Soll die Länge einer 
krummen Linie in Beziehung auf eine gerade angegeben werden, 
so kann dieses im Allgemeinen nur nähernngsweise dadurch ge 
schehen, daß man eine aus mehren geraden Stücken bestehende oder 
gebrochene Linie, die in vielen Punkten mit der krummen zusam 
menfällt, statt dieser mißt. Denkt man sich z. B. in einer krum 
men Linie K (Fig. 2.), deren zwischen den Punkten a und ü ent 
haltenes Stück gemessen werden soll, einen Punkt c desselben ge 
wählt und durch gerade Linien mit a und d verbunden, so entsteht 
die gebrochene Linie »cd, welche man der krummen eingeschrieben 
nennt. Da nun die gerade Linie zwischen a und c, oder c und d, 
als die kürzeste Verbindungslinie nothwendig kleiner ist, als das 
zwischenliegende Stück der krummen, so kann die eingeschriebene, 
gebrochene Linie nie so groß sein, als diese, wie viele Zwischenpunkte 
d, c . . . man auch auf derselben annehmen möge. Aber mit der 
wachsenden Anzahl solcher Punkte nähert sich die eingeschriebene 
augenscheinlich immer mehr der krummen Linie, so daß diese vermöge 
jener wenigstens nähernngsweise zu bestimmen sein wird. Denkt 
man sich die krumme Linie abed oder K zwischen zwei gebrochenen 
Linien kl und L enthalten, welche nur um eine (wegen ihrer Klein 
heit zu vernachlässigende) Länge p verschieden sein mögen, und dabei 
<Li, so ist, wenn G = m . p, L = (in + l)p, der Werth von 
K = m . p zu setzen, d. h. die Länge der inneren gebrochenen Linie 
annähernd als die der krummen anzunehmen. (Aufg. 10.) 
§. 228. Kreislinie. Die einfachste aller krummen Linien 
entsteht dadurch, daß eine Gerade von bestimmter Länge CB (Fig. 
3.) um ihren einen unbeweglichen Endpunkt C in einer Ebene so