§. 233. 2. Abth. Geometrie. Geometrie der Ebene. 245 
dritten Geraden AB geschnitten, so bilden sie mit dieser zwei gleiche 
glrichliegende Winkel (o = q und p = r). 
Denn angenommen, W. o und q wären ungleich, so würde 
(nach L. 8.) außer GE noch eine andere, durch B gelegte, Gerade 
mit VE parallel sein, welches (nach L. 11.) unmöglich ist. 
Zusatz. Werden zwei Parallelen VE, EG von einer dritten 
Geraden AB geschnitten, so betragen ihre inneren Winkel (p und o 
oder x und y) zusammen zwei rechte. 
13. (Fig. 18.) Ist die Summe der innern Winkel, welche zwei 
Gerade AG, VB, mit einer Geraden AB bilden, kleiner als zwei 
rechte, so sind jene Geraden Convergenten. 
Denn angenommen, AG und Bv wären parallel, so mußten 
(nach L. 12, Zus.) die inneren W. 2B betragen, welches der Vg. 
widerspricht. 
14. (Eig. 17.) Wechselwinkel (o und x, p und y) sind einan 
der gleich. 
Denn da, wenn VE parallel EG ist, (nach L- 12.) o=q und 
(nach L- 7.) q — x sein muß, so folgt, daß o — x. 
15. (Fig. 20.) Wenn zwei Gerade AB, KL einer dritten Gv 
parallel sind, so sind sie einander parallel. 
Denn angenommen, sie wären es nicht, sondern träfen einander 
in irgend einem Punkte P, so könnten ans diesem zwei Parallelen 
mit Gv gezogen werden, welches (nach L. II.) unmöglich ist. 
16. (Eig. 19.) Wenn zwei Gerade VB, VE zwei andern GA, 
GE paarweise parallel sind, so bilden sie denselben Winkel, wie diese. 
Denn der von den Schenkeln VB, GE gebildete W. p ist (nach 
L. 12.) — o und — q, also auch o = q. 
§. 233. Verbind»»ng gerader Linien. Für die Anzahl 
der Verbindungslinien einer gegebenen Menge von Punkten oder 
der Durchschnittspunkte einer gegebenen Menge gerader Linien gelten 
folgende Sätze: 
1. Werden n in einer Ebene zerstreut liegende Punkte durch 
gerade Linien verbunden, so ist deren Anzahl = n (a — 1.) 
Denn von jedem der u Punkte kann inan nach u — 1 Punkten 
eine Gerade ziehen; da hiebei aber jede Gerade doppelt gezogen 
wird, so ist die Hälfte von n (n — l) zu nehmen. 
Zusatz. Liegen von v Punkten p»nal drei in gerader Linie, so 
ist die Anzahl der Verbindungslinien — J n (n — I) — 2p, da sie 
für jede der p Abtheilungen von je drei Punkten um 2 Linien ver- 
»nindert »vird. 
2. Die Anzahl der DnrchschnittSpnnkte von n convergirenden 
Geraden ist = a n (n — 1). 
Beweis ähnlich, wie zu L. 1.