280 2. Abih. Geometrie. Geometrie der Ebene §. 259. 
salen so gezogen, daß die eine die Grundlinie halbirt und die beiden 
andern deren Endpunkte mit den Endpunkten einer ihr parallelen 
Geraden kV verbinden, so wird die erste Transversale in den Punk 
ten B, G, M, E harmonisch getheilt. 
Denn betrachtet man die Geraden GE, GG und CB, als harmo 
nische Strahlen, so ist M (nach L. 1.) harmon. Gegenpunkt von 
B, da DF par. AG, und FG = GD ist. 
Zusatz. Werden die Seiten eines Dreiecks ABC in den Punk 
ten E, D, F halbirt und diese durch Gerade verbunden, so liegen die 
Durchschnittspunkte auf allen drei Transversalen harmonisch. 
4. (Fig. 64.) Der harmonische Gegenstrahl AD einer Geraden 
welche einen Winkel CAF halbirt, steht auf derselben senkrecht. 
Denn zieht man die beliebige Durchschnittslinie CD und durch 
den Punkt B eine Gerade KL, senkrecht auf AB, so ist (nach 
L. I.) der harmonische Gegensirahl von AB parallel LK, folglich 
Winkel BAD — R. 
Zusatz. Bilden zwei harmonische Strahlen AB, AD einen 
rechten Winkel, so halbirt der eine von ihnen den Winkel der beiden 
andern. 
5. (Fig. 64.) Ein Punkt C außerhalb eines Kreises hat im 
Innern desselben einen harmonischen Gegenpunkt F, der in der Mitte 
der Berührungssehne AD liegt. 
Denn zieht man die Secante CD durch des Kreises Centrum die 
Tangenten GA, GD und die Berührungssehne AD, so ist Win 
kel BAD — R und W. x == z = y, also (nach L. 4.) F der har 
monische Gegenpunkt von C. 
6. (Fig. 64.) Beschreibt man über dem Abstande zwei har 
monischer Gegenplmkte B, D, als Durchmesser, einen Kreis, so sind 
die Abstünde sämmtlicher Punkte seines Umfanges von den beiden 
andern harmonischen Punkten C und F verha'ltnißgleich. 
Denn zieht man von einem beliebigen Punkte P des Kreisnm- 
fangs die harmonischen Strahlen nach den Punkten C, B, F, D, 
von denen PD und PB einen rechten Winkel bilderi, so ist (nach 
L. 4, Zus.) W. BPF = BPC, folglich (nach §. 255, L. 2.) 
PE : PC — BF : BC. 
§. 259. * Bestimmung des Umfangs regulärer Poly 
gone und des Kreises. 
1. (Fig. 45.) Aus der Seite s eines regulären Vielecks im 
Kreise die Seite t eines regulären Vielecks um den Kreis zu be 
stimmen, wenn man dessen Radius mit r bezeichnet. 
Man ziehe vom Mittelpunkte nach den Ecken der concentrisch und 
parallel gelegten ähnlichen Figuren die Convergenren Ca, Cb, Cd, 
Oe, und halbire den Centriwinkel ACD durch CF: dann ist