286 2. Abth. Geometrie. Geometrie der Ebene. §. 262. 
nicht eine jede unmittelbar, wie eine gerade Linie durch wiederhol 
tes Abtragen des Maaßes gemessen werden; vielmehr scheinen nur 
Rechtecke einer solchen Ausmessung fähig zu sein, weil diese allein aus 
Quadraten sich zusammensetzen lassen. Indessen wird auch dieses 
schon hinreichen, wenn nur Figuren von anderer Gestalt in Rechtecke 
gleichen Inhalts verwandelt werden können. Ja es bedarf nicht 
einmal der vorläufigen Verwandlung behufs einer wirklichen Aus 
messung gegebener Figuren, wenn wir durch Vergleichung ihrer 
bestimmenden Stücke sie auf einander zu beziehen, und so mittel 
barer Weise ihr Verhältniß zum Flächenmaaße anzugeben vermö 
gen. Die Untersuchung über die Flächenräume der Figuren hat 
also zunächst eine Vergleichung zwischen denselben anzustellen, um 
ihre Gleichheit oder das Verhältniß des einen zum andern zu 
erkennen und dann daraus die Grundsätze ihrer Inhaltsbestim 
mung durch Zahlen abzuleiten. 
§. 262. Lehrsätze über die Gleichheit der Flächen räum e 
1. (Fig. 69.) Parallelogramme auf gleichen Grundlinien und 
zwischen denselben Parallelen (von gleicher Höhe) sind inhaltsgleich. 
Denn wenn beide mit der gleichen Grundlinie AB auf einander 
gelegt werden, so ist wegen der Parallelen AD, CB; AF, BE und 
der gleichen Seiten DC -+- CF = EF -f- CF das Dreieck 
DAF CBE, und folglich nach Abzug dieser gleichen Dreiecke 
von der ganzen Figur ABCv — ABEF. 
2. (Fig. 69.) Dreiecke auf gleichen Grundlinien und zwischen 
denselben Parallelen von gleicher Höhe find inhaltsgleich. 
Man betrachte die Dr. ABC und ABF als Hälften der Paralle 
logramme ABCv und ABEF, so folgt der Beweis aus L. I. 
Zusatz. Jedes Dreieck ABC, welches mit einem Parallelogramm 
ABEF gleiche Grundlinie und Höhe hat, ist halb so groß, als 
dasselbe. 
3. (Fig. 70.) Wenn durch einen beliebigen Punkt in der 
Diagonale eines Parallelogramms mit dessen Seiten Parallelen ge 
zogen werden, so sind die beiden nicht durchschnittenen Stücke ein 
ander gleich. 
Denn da die Dr. ABC, ABC, so wie MGC, MFC, und AEM, 
AHM congruent sind, so entsteht durch Abziehen der kleineren Dr. 
von den beiden größeren EBFM — MGDH. 
4. (Fig. 72.) Das über der Hypotenuse eines rechtwinkligen 
Dreiecks construirte Quadrat ist den beiden Quadraten der Catheten 
an Flächeninhalt gleich. (Lehrsatz des Pythagoras.) 
Es ist nämlich AELI = ACGF, weil die Hälften beider (nach 
L. 2, Zus.) die Dr. ABF und ACE, wegen Uebereinstimmung 
zweier Seiten und des eingeschlossenen Winkels einander gleich