§. 263. 5. Capitel. Flächenräume. 287
sind. Dasselbe gilt von BDLI = BCHK wegen der kongruenten
Dr. BCD, BAK; folglich ist AD==BU + AG.
5. ° (Fig. 73.) Wenn man über zwei Seiten eines Dreiecks
ABC beliebige Parallelogramme constrnirt, die Parallelen jener
Seiten bis zum DurchschnittSpunkte H verlängert, durch diesen und
die Spitze C der Dreiecksseiten eine gerade Linie und mit ihr aus
den Endpunkten der Grundlinie AB Parallelen zieht, so entsteht
(indem man M und L verbindet) ein, den beiden gegebenen, inhalts
gleiches Parallelogramm ABML. (Lehrsatz des Pappus.)
Denn wegen der Par. FH, AC; BC, DH; und AL, KH, BM
ist AL = CH = BM, also das Viereck ABML ein Parallelo
gramm. Ferner ist (1) ACGF = ACHL, unb ALHC == ALPK
folglich auch ACGF = AKPL, (2) BCED = BCHM und
BMHC = BMPK, mithin auch BCED = BKPM. Also ist
Par. ACGF-»-Par. BCED —Par. ABML.
Anmerkung. Der Pythagorische Lehrsatz kann als bloße Folgerung
aus diesem viel allgemeineren betrachtet werden.
§. 263. Lehrsätze über die Verhältnisse der Flächen
räume.
1. (Fig. 74.) Die Flächenräume zweier Parallelogramme von
gleicher Höhe verhalten sich, wie ihre Grundlinien.
Denn denkt man sich eine Seite AD in m gleiche Theile zerlegt,
und der Basts parallele Linien durch alle Theilungspunkte gezo
gen, so theilen dieselben das Parallelogramm AC in m congruente
kleinere. Besteht nun AK aus n Theilen von AD, so enthält
das Parallelogramm AL auch n von den m Theilen des Pa
rallelogramms AC, oder es verhält sich AL : AC — n:m
= AK: AD.
Wäre aber auch das Verhältniß AK: AD nicht in ganzen
Zahlen auszudrücken oder irrational, so ist dennoch diese Proportion
gültig. Denn angenommen, eS wäre:
(1) AL : AC — AM: AD, und ein Punkt P zwischen K und
M so gewählt, daß AP mit Av com mensurabel sei, so
hätte man
(2) AO : AC — AP : AD, und ferner aus beiden:
(3) AL : AO = AM : AP, welches unmöglich ist. Da nun
aus denselben Gründen nicht AL:AC — AN: AD sein
kann, so folgt ganz allgemein, daß AL : AC — AK : AD.
2. (Fig. 69.) Die Flächenräume zweier Dreiecke von gleicher
Höhe verhalten sich, wie ihre Grundlinien.
Denn wenn Dr. ACD — |BD und Dr. BEF — 4AE be
trachtet wird, so folgt aus L. 1, daß ACD : BEF — BD : AE
= CD ; EF.
