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1. Abtheilung. Arithmetik. 
H. 4. 
gemessen werden soll, oder doch nicht genau mehremal so groß, 
sonders, Etwas zur weitern Vergleichung übrig läßt. In solchen 
Fällen ist man genöthigt, die Einheit selbst in kleinere Theile zu zer 
legen, um durch die Wiederholung eines solchen Theils den Werth 
der Größe anzugeben, welche weniger als ein Ganzes betrug. Dies 
ist die Entstehung der gebrochenen Zahlen, welche darstellen, was für 
Theile der Einheit und wie viele eine gegebene Größe bilden. 
§. 4. Entsteh»ng der Zahlen. Zu beiden Größenangaben, 
ganzen und gebrochenen Zahlen, gelangt man durch das Zählen ihrer 
Einheiten oder Theile, welches darin besieht, daß diese einzeln aufge 
faßt, mit dem schon Vorhandenen verbunden und die stets um eine 
Einheit zunehmende Größe durch stets andere Zahlzeichen und Be 
nennungen ausgedrückt wird. Das Zählen würde aber, wenn ur 
sprüngliche Zeichen und Namen für jede Einheitsmenge nöthig wä 
ren, zu einem eben so mühsamen als unvollkommenen Gedächtniß 
werke, und folgt daher, um durch die Verbindung weniger Zahlzei 
chen oder Ziffern und eben so einfach sich ergebender Benennungen 
jede beliebige Zahl darstellen zu können, bestimmten Grundsätzen und 
Regeln der sogenannten Numeration, wovon erst an einem spätern 
Orte die deutliche Einsicht mitgetheilt werden kann. 
§. 5. Veränderung der Zahlen. So wie jede Größe 
eine Vermehrung oder Verminderung erleiden kann, gilt das Näm 
liche von der Zahl als ihrem Ausdruck. Die Vermehrung der Zahl 
besteht in dem Hinzufügen von Einheiten (oder Theilen der Einheit), 
die Verminderung in dem Hinwegnehmen derselben. So bildet man, 
von der bestimmten Zahl 20 ausgehend, 
(1) die wachsende Zahlenreihe 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26... 
(2) die abnehmende Zahlenreihe 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14 ... 
Soll eine Zahl a um b Einheiten vermehrt werden, so bezeich 
net man dies durch a-1-b (a plus b); soll die erste hingegen um b 
Einheiten vermindert werden, so ist die Bezeichnung dafür a —b 
(a minus b). Demnach ist die allgemeine Andeutung um 1 wach 
sender und abnehmender Reihen von ganzen Zahlen: 
(1) a, a 1, a + 2, a + 3, a*4-4, a+ 5, a»+- 6,.... a*+“ b. 
(2) a, a — 1, a — 2, a — 3, a — 4, a — 5, a — 6,.... a — b. 
In der ersten Reihe ist jedes nachfolgende Zahlenglied, allgemein 
aH~b, ;>a (d. i. größer, als a), in der zweiten aber jedes Glied, 
allgemein a — b, <a (d. i. kleiner, als a). 
H. 6. Axiome. Jede Betrachtung, welche über Zahlen oderauch 
unmittelbar über die, durch sie bezeichneten, Größen angestellt wird, 
beruhet — wenn man auf die einfachsten Gründe der Erkenntniß 
zurückgeht — auf an sich einleuchtenden und deshalb nicht weiter zu 
beweisenden Wahrheiten, die man Grundsätze oder Axiome der 
Mathematik nennt. Sie gründen sich auf den Begriff der Gleich-