6. Capitel. Ebene Trigonometrie.
H. 270.
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« gegenüberstehenden Cathete zu erhalten, wird dessen Sinus, der
die andere Cathete bestimmende ächte Bruch aber der Cosinus des
Winkels genannt. Demnach ist (Fig. 80):
(1) ED — a . sin. a (2) CD = a . cos. «.
Kommt ferner das Verhältniß der Cathelen in Betracht, so hat
man entweder:
' ~ a . sin. u
(3)
ED
CD
CD
°d°>' <' 4 > ED =
COS. «
cos. «
sin. a
cos. « :
cos. «
wofür laug. a.
wofür cotg. u
sin. a
des Winkels « als kürzere An-
a. sw. «
d. h. Tangente und Cotangente
deutung gesetzt wird.
Endlich findet man noch, um das Verhältniß der Hypote»
nuse zu einer der beiden Catheten zu bezeichnen, die Kunstausdrücke
Secante und Cosecante gebraucht; nämlich das Verhältniß
^ k U 1
(5) tttt — — durch scc. a
CD a.cos. « cos. «
CE a 1
ED
kürzer angedeutet.
(6)
durch esc. «
a . sin. a sin. «
Es sind also der Winkelfunctionen im Ganzen
sechs, unter denen man die vier letzten als abgeleitete von den
beiden ersten als den ursprünglichen zu unterscheiden hat.
§. 269. Zusammenhang der Wiukelfunctiouen. Indem
man die vorstehenden Benennungen auf die ans der Grundvorstel-
liing der Goniometrie (§. 267.) sich ergebende Gleichung a* =y 2 4-x*
überträgt, erhält man den Ausdruck:
a 2 = (a . sin. a) 2 4- (a . cos. «)'
oder, wenn man beide Seiten durch a 3 dividirt:
(I) 1 = sin. u? -+- cos. u 2 .
Werden ferner die beiden Ausdrücke
sin « cos «
= tg « und —7 = cot a
cos « a sin a
mit einander multiplicirt, so ergiebt sich
(II) 1 — tang u . cot «.
Die durch sin «, cos «, tg «, cot « angedeuteten Winkelfunc
tionen sind also Zahlen von der Beschaffenheit, daß die Ein
heit stets
(1) Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus;
(2) Produkt von Tangente und Cotangente
eines beliebigen (spitzen, stumpfen oder übersiumpfcn) Winkels ist.
§. 270. Umfang der Winkelfunctionen. Ans der Fun
damentalgleicht« ug sin a 2 4- cos a 2 = 1 geht hervor, daß die Werthe
von Sinus und Cosinus von 0 und 1 begräuzt sein müssen. Für
sin « — 0 ist cos « = 1, und umgekehrt, überhaupt aber Ver-
