§. 273.
6. Capitel. Ebene Trigonometrie.
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§. 272. Vorzeichen der Winkelfunktionen. Der Ge
gensatz der Lage, welcher bei den Projectionen des drehenden
Schenkels zum Vorschein kommt, sobald der veränderliche Winkel z
zu einem stumpfen oder überstumpfen anwächst, nöthigt (nach §. 231.),
die entsprechenden Zahlenwerthe der Winkelfunktionen mit den
Vorzeichen des Positiven oder Negativen zu versehen, je nach
dem jener Schenkel seine Lage im ersten, zweiten, dritten oder vierten
Quadranten hat.
Bezeichnet CA für die horizontale, CF für die vertikale Projec
tion die positive Richtung, also CB für jene, CR für diese die
negative, so hat man sich in dem oben (§. 268.) aufgestellten
Ausdrücken
(l) x — p . a (2) y = q . a
unter p und q nicht nur ächt-gebrochene, sondern zugleich abwech
selnd positive und negative Faktoren zu denken, wonach die Win
kelfunktionen des Sinus und Cosinus (und nicht minder die von ih
nen abgeleiteten der Tangente und Cotangente) der jedesmaligen
Größe des Winkels gemäß bald als positive, bald als negative Zah
len erscheinen.
Mit dieser nothwendigen Berücksichtigung des Zusammenhangs
zwischen der Lage der Projektionen y, x und der entsprechenden Be
zeichnung ihrer Zahlenwerthe findet man
I. Im ersten Quadranten, wo z = ACE:
sin z und cos z beide positiv;
folglich auch lg z und cot z positiv.
II. Im zweiten Quadranten, wo z = ACN:
sin z positiv und cos z negativ;
folglich tg z und cot z beide negativ.
III. Im dritten Quadranten, wo z — A CO:
sin z und cos z beide negativ;
folglich tg z nnd cot z beide positiv;
IV. Im vierten Quadranten, wo z = ACU:
sin z negativ und cos z positiv;
folglich tg z nnd cot z beide negativ.
§. 273. Reduction der Winkelfunktionen. Der Zusam
menhang, worin stumpfe Winkel aller Art mit einem spitzen Win
kel u stehen, der als Ergänzung oder Ucbcrschuß derselben von R,
2R, 3R oder 4R angesehen werden kann, macht es möglich, ihre
Functionen auf die eines solchen Winkels zu reduciren und dadurch
einfacher auszudrücken. So ergeben sich aus den vorstehenden Be
trachtungen über die Lage der Projectionen und die entsprechende
positive oder negative Bezeichnung der Winkelfunktionen mit Hin
blick auf die Fig. 80. folgende vereinfachende Beziehungen unter den
Functionen ergänzender Winkel:
