§. 275. 
6. Capitel. Ebene Trigonometrie. 
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Endlich erscheinen die Winkelfunctionen der Secante und Cose- 
cante hier durch die Linien dargestellt, welche den Mittelpunkt 
des Kreises mit den Endpunkten der BerührungSlinien verbinden. 
Denn es ist 
CK CE 
CF ~ DE’ 
(o) CA — CD' 7 Unt> ■ 6 ' ) 
CSC tt 1 
1 sin a' 
Diese (früher gebräuchliche, über jetzt veraltete) Art, die Winkelfunc 
tionen räumlich darzustellen, ist indessen in Absicht der vier abge 
leiteten Functionen sehr mangelhaft, weil nur die Größe, nicht 
aber die positive oder negative Bezeichnung derselben dadurch ver 
anschaulicht wird. 
§. 275. (Fig. 82.) Functionen zweitheiliger Winkel. 
Denkt man sich den Winkel ACF — « um eine bestimmte Größe 
FCE — y = FCK wachsend oder abnehmend, so ändern sich zu 
gleich seine Winkelfunctionen, und eö ergeben sick namentlich für 
Sinus und Cosinus zweitheiliger Winkel der Form (u -+- y) 
und (« — y) wichtige Grundformeln, aus denen wiederum eine große 
Menge anderer, die für trigonom. Betrachtungen unentbehrlich sind, 
abgeleitet werden können. 
Man setze nämlich zu größerer Einfachheit den Radius CA 
— 1, ziehe senkrecht auf FC die Linien EH und kH — sin y, 
auf AC die Linien ED = sin (« + /), KL = sin (« — y), HI, 
und aus H und K die Senkrechten HO, KR, so ist Winkel HEI* 
— PCD = a, und folglich: 
I ED — DO-hOE = HI+OE = HC.sin a-J-HE. cos a, 
d. i. sin (a-+-y) = sin a. cos y-{- sin cos« (!) 
H. KL —HI — HR —Hl — OE —HC . sin a — HE . cos «, 
d. i. sin («— y) = sin«.cos/ — sin y .cos a (2) 
III. DC — CI — DI—CI — HO = HC . cos «—HE . sin «, 
d. i. cos (a-|-/) = cos a.cos y — sin tt.sin / (3) 
IV. CL — CI-I-IL —CI-F-HO — HC. cos «-F-HE.sin «, 
d. i. cos (a — ^) = cos a.cos / + siu «.sin y (4) 
Anmerkuug. Die Allgemeinheit dieser Fundamentalformeln in ihrer 
Ausdehnung auf stumpfe und überstumpfe Winkel zu beweisen, darf 
man nur darthnn, daß die vorstehenden Werthe, substitnirt in die 
beiden Ausdrücke: 
(1) [sin (ß-J-)/)] 2 -4- [cos (ß-f-y)] 3 — 1. 
(2) [sin (ß—y)] 3 -f-[cos (ß— y)] 2 — 1.