14 1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §. 11. 
trahiren solle. Nach den beiden gleichbedeutenden Ausdrücken a—b=r 
und a=b-f-r findet man die Differenz r auf doppelte Weise: ent 
weder indem man a um b Einheiten vermindert, oder indem man b 
um so viele Einheiten vermehrt, daß dadurch die Summe a gebildet 
wird. So entsteht z. B. die Differenz der Zahlen 12 und 7, indem 
man entweder 7 Einheiten von 12 hinwegnimmt oder so viele Einheiten 
zu 7 hinzufügt, bis die Summe 12 zum Vorschein kommt. 
§.11. Multiplication. Wenn die nämliche Zahl a im Gan 
zen b mal gegeben ist, so verwandelt sich die Addition dieser gleichen 
Summanden in eine Multiplication; z. B. 
(a-l-a-k-a-4-a-1-a) —amal (1 —1— 1 —1 —1 —|— l)=amal 5. 
Man darf also sagen, es werde eine Zahl a durch eine andere 
b multiplicirt, indem man aus ihr auf die nämliche Weise, 
wie b aus der Einheit entsteht, eine dritte Zahl P bildet. 
Hiebei wird a Multiplicand, b Multiplicator und die aus bei 
den Zahlen hervorgehende P das Product von a und b genannt. 
Die Andeutung der Multiplication ist a-b oder aXb=P. Soll 
dieses Product auf's Neue durch eine Zahl c, dann das Resultat 
durch 6, u. s. w. multiplicirt werden, so deutet man dies durch die 
einfache Reihenfolge der Zahlen a, b, c, <1 ... an, d. h. man setzt: 
P—a*b*c«d .... oder P=aXbXcXd .... 
z. B. 120=3.2.4.5=3X2X4X5. 
Auch pflegt man wohl zwischen Buchstaben die Andeutung der Mul 
tiplication ganz wegzulassen und einfacher P=a kr e 6 .... zu schrei 
ben. Die in solchen Formen zu allmähliger Multiplication gegebenen 
Zahlen werden mit dem gemeinschaftlichen Namen Facto re n belegt. 
Daß man ausdrücklich aus einzelnen unter ihnen ein Product bilden 
solle, kann man durch Einklammerung der Faktoren bezeichnen. So 
deutet man z. B. durch a(krc)ä an, daß a mit dem Produkte be und 
die hieraus entstehende Zahl wieder mit ä multiplicirt werden soll. 
Anmerkung. Von den beiden Factoren eines Products ad kann nur 
der Multiplicand eine benannte Zahl sein. Enthält es mehre Fac 
toren, a.b.c.d, so ist höchstens einer derselben als benannt und des 
halb als Multiplicand zu betrachten. 
§ 12. Fundamentalsatz der Multiplication. Jedes Pro 
dukt aus ganzen Zahlen bleibt ungeändert, wenn man seine Factoren 
in beliebiger Ordnung multiplicirt. 
Zum Beweise dieses wichtigen Satzes nehme man anfänglich 
nur zwei Factoren (z. B- 4 und 6) an. Dann ist es nach der An 
deutung des, in seine Einheiten ausgelosten, Products: