§». 301. 2. Capitel. Ebeuflächige Körper. 339 
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als Sei lenk anten und diejenigen, welche Grundfläche und Gegen 
fläche einschließen, als Randkanten bezeichnet. 
Eine besonders beachtungswerthe Galtnng von Polyedern sind die 
sogenannten Obelisken, welche entstehen, indem man diehomologen Ecken 
zweier paralleler winkelgleicher Figuren ABCDE, FGHIK (Fig. 
129a.), deren Seiten paarweise parallel sind, durch gerade Linien mit 
einander verbindet. 
§. 301. * Lehrsätze über Polyeder. 
1. Die Anzahl der Flächenwinkel eines Polyeders ist so groß 
als die Anzahl seiner Kanten. 
Der Beweis liegt in dem Begriffe der Kanten. 
2. Die Anzahl der Kantenwinkel w eines Polyeders ist dop 
pelt so groß, als die Anzahl seiner Kanten X. 
Denn da an jeder Kaute vier Kantenwinkel liegen, in der An 
zahl 4X aber jeder Winkel doppelt vorkommt, so ist w = 2K. 
3. Sei F die Anzahl der Flächen eines Polyeders, K die Anzahl 
seiner Kanten und E die Anzahl seiner Ecken, so hat man 
I. wenn jede Fläche n Seiten enthält: 
F . n — 2K, also X — ¿F.u; 
II. wenn jede Ecke m Kanten enthält: 
E . m — 2X, also X —zE.m. 
Denn in F . n, wie in E . in, ist jede Kante doppelt gezählt. 
Zusatz 1. Gelten die Voraussetzungen 1. und II. zugleich, wie 
z. B. für reguläre Polyeder, so ist F.u — E.in, also F:E = m:n. 
Zusatz II. Hat ein Polyeder verschiedenartige Flächen mit o, 
n', n" ... . Seiten, deren Menge durch F, F', F" .... angedeu 
tet werden möge, so ist (nach I.): 
X — 4 (F . n -I- F'. n' F" . n . . . .) 
Zusatz III. Hat ein Polyeder verschiedenartige Ecken mit m, 
m', m" . . . . Kanten, deren Anzahl durch E, E', E" bezeichnet 
werde, so ist (nach II.) r 
X — -J (Em + E'm' -+- E" m" +....) 
4. An jedem Polyeder ist die Anzahl der Kanten, um zwei 
vermehrt, der Anzahl der Flächen und der Eckeu zusammengenommen 
gleich. 
Denn bezeichnet man in einem Figurennetze, welches n ebene Fi 
guren beliebiger Art euthalte (ohne einen Körper zu umschließen), 
die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten durch F n , E„, X„, 
ferner nach Hinwegnahme irgend einer äußern Figur die Anzahl 
der Flächen, Ecken und Kanten für das Netz aus den übrigen 
(n — 1) Figuren durch F„—j, E„—i, X u -i, und die Zahl der ver 
schwundenen Ecken jener hinweggenommencn Figur durch e, so ist: 
(1) Fn-i = F„ - 1, 
(2) E u —i = E n —~ G, 
(3) Xu—i — X n — (e + 1);