362 2. Abth. Geometrie. Geometrie des Raumes. §. 319. 
§. 319. Lehrsätze über die Bestimmung des Inhalts 
und der Oberfläche krummflächiger Körper. 
1. Den Inhalt eines Cylinders C findet man durch Multi 
plicatio» seiner Basis B mit seiner Höhe 8. 
Sei C = x . 8, unter x die unbekannte Fläche verstanden, die 
mit des Cylinders Höhe multiplieirt werden muß, um seinen In 
halt zu geben, und denkt man sich in und um den Cylinder die 
regulären Prismen P, p construirt, deren Grundflächen G, g um 
und in den Basiskreis beschriebene Polygone sind, so ist 6 <; P 
und p, d. i). x . 8 -< G . 8 und >- g . 8. Nun giebt eö aber 
keine Fläche, welche unter allen beliebigen Annahmen für P und p 
kleiner, als G und größer, als g wäre, als den Kreis B; folglich 
istx — B und C = B . H. 
Zusatz. Ist der Radius der Grundfläche — R, so ist C 
= R 2 . TT . H. 
2. Die krumme Oberfläche 0 eines Cylinders wird durch Mul 
tiplication des Basisnmfanges U mit der Höhe 8 gefunden. 
Sei 0 — x . 8 und denkt mau sich unter d, q die Oberflächen 
regulärer, um und in den Cylinder beschriebener Prismen, deren 
Perimeter — P, p, so ist 0 <; d und q, d. h. x . 8 < P . 8 
und > p . 8. Nun ist aber nur der Kreiöumfang U unter allen 
Umständen < P und ;> p, folglich U — x und 0 = U . 8. 
Zusatz. Bezeichnet man den Radius der Grundfläche mit R, 
so ist 0 = 2R . tv . 8. 
3. Den Inhalt eines Kegels K findet man durch Multiplica 
tion seiner Basis B mit dem dritten Theil der Höhe 8. 
Denn sei K = x . 8, und vergleicht man den Kegel mit zwei 
Pyramiden d, q, die gleiche Höhe 8, aber ein in oder um den 
Basiskreis beschriebenes Polygon, G oder g, zur Grundfläche ha 
ben, so ist K ■< d und >- q, d. h. x.B<|G.H und 
* g . 8; also muß x = jB sein, weil allein B *< G ;> g ist. 
Zusatz. Ist der Radius der Grundfläche — R, so ist K 
= IR 2 . tv . 8. 
4. Den Inhalt eines abgestumpften Kegels K findet man 
durch Multiplication des dritten Theils der Höhe mit der Summe 
der beiden Grlindflächeu G 2 , g 2 und der mittleren Proportionale 
zwischen beiden. 
Der Beweis ist ganz wie in §. 318, L. 8. 
Zusatz. Bezeichnet man den Radius der Grundfläche durch 
R, den der Gegensläche durch r, so ist K = ^8 (R 2 Rr r 2 ) n. 
5. Die krumme Oberfläche 0 eines Kegels findet man durch 
Multiplication seines Basisumfangs tf mit der Hälfte der Seiten 
höhe 8. 
Bezeichnen d, q die Oberflächen zweier regulärer Pyramiden, de-