372 2. Abth. Geometrie. Geometrie des Raumes. §. 324.
CI auf die gegenüberliegende Seite c, so ist (nach §. 323, L. I)
sin CI — sin b sin « = sin a sin ß, oder:
(1) sin b : sin a = sin ß : sin «.
A nmerkung. Der Beweis bleibt -er nämliche, wenn das Dr. ABC
in B stumpfwinklig ist, also der senkrechte Vogen CI auf die Ver
längerung von AB fallen sollte.
2. (Fig. 136.) Der Cosinus einer beliebigen Seite ist dem
Producte der Cosinus der beiden andern nebst demjenigen der Si
nus dieser Seiten in den Cosinus des gegenüberliegenden Winkels
gleich.
Denn verlängert man die Kanten MB, MC der Ecke MABC und
zieht die Tangenten AF, AG nebst der Verbindungslinie FG, so
entstehen die geradlinigen Dreiecke AFG, MFG, worin in Be
ziehung auf AM als Einheit:
AF — tg c, AG — tg b, MF — sec c, MG — sec b.
Folglich FG 2 — sec b 2 -I- sec c 2 — 2 sec b . sec c . cos a.
und auch FG 2 = tg b 2 -f- tg c 2 — 2 tg b . tg c . cos «.
und hieraus, indem man sec 2 — tg 2 = 1 seyen darf:
1 + tg b . tg c . cos « — sec b . sec c . cos a,
v v . sin x I
oder da tg x = und sec x — ist:
° cos x cos x 1
(2) cos a — cos b . cos c -+- sin b . sin c . cos «.
AnMerkung. Zur Verallgemeinerung des vorstehenden Beweises
nehme man an:
I. daß im Dreieck BBC (Fix. im) zugleich KC oder b' >■ 90°
und KB oder c' > 90° sei; dann ist im sphärischen Dreieck
ABC sowohl AB, als AC < 90°, also BC = a = a', W. «
— a, UNd
cos a — cos (180° — b') . cos (ISO“ — c')
-+- sin (180° — b') . sin (180" — c') . cos er,
d. i. cos a' == cos b' . cos c' sin b' . sin c' . cos
II. Daß im Dreieck AB» (Fix. H4) AB oder c' < 90°, aber AH
oder b' > 90", und W. BAH — «' sei, so ist im Dr. ABC so
wohl AB, als AC < 90°, also;
cos (180° — a') — cos (180° — b') . cos c'
-j- sin (180° — b') . sin c'. cos (180°—«'),
d. i. cos a' = cos b' . cos c' -f- sin b' . sin c' . cos
3. (Fig. 136.) Das Product der Cotangente einer beliebigen
Seite in den Sinus einer zweiten ist gleich dem Producte aus deren
Cosinus in den Cosinus des, vou beiden eingeschlossenen, Winkels
nebst demjenigen aus dem Sinus dieses Winkels in die Cotangente
dessen, welcher der ersten Seite gegenüber liegt.