374 2. Abth. Geometrie. Geometrie des Raumes. §. 325.
Nun ist nach §. 276:
cos « = 2 cos i« 2 — 1, oder 1 -f- cos « = 2 cos }a 2 . . (18)
cos a — cos m = 2 sin* (in -f- n) . sini (m — a) . . . . (21)
und wenn diese Werthe fubfiituirt werden:
I. (A) cos « — l/ sin t^ + cH- a) . sin ■ (b + c-a)
sin b . sin c
Zieht man hingegen, um de» Winkel « durch die Function des Si
nus zu bestimmen, beide Seiten der Gleichung von der Einheit ab,
utid wendet die Formel cos (b — c) — cos b . cos c «+- sin b . sin c
an, so erhält mau:
cos (b — c) — cos a
sin b . sin c
1 — cos a —
Nun ist nach §. 276:
cos a = 1 — 2 sin ‘ oder 1 — cos « = 2 sin 4 . . . (18)
cos m — cos a — 2 sin -J (a in) . sin £ (a — m) (21)
und nach Substitution dieser Werthe:
1 /sin 4 (a + b-c) sin | (a — b + c)
V sin b . sin c
I. (B) sin •*« —
2) Bestintmung einer Seite durch die beiden andern und
den gegenüberliegenden Winkel.
Man setze, um die Formel in . cos (b — y) = m . (cos b . cos cp
~h sin b . sin q>) auf die Gleichung (1) COS a = cos b cos c -f- sin
b . sin c . cos « anzuwenden, cos c = m . cos (p und sin c . cos «
— m . sin (p. Dadurch wird sie:
cos a = ui . cos (b — (s),
für deren Anwendung der Hüifswinket cp nach dem Ausdrucke
in . sin cp
tg (J> == m '. cos y = tg c . cos u vermittelst der Fuuction der
Tangente berechnet werden muß.
3) Bestimmung einer Seite dtirch die beiden andern und
einen anliegenden Winkel.
Durch Transposition folgt aus II.:
III. cos (b —</>)= —, wenn tfc sp = tg c . cos «.
4) Bestimmnng eines Winkels durch beide anliegende
Seiten und einen zweiten Winkel.
Benutzt man die Formel m . sin (ß y) = m (sin ß . ces y