H. 17. 
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1. Capitel. Die ganzen Zahlen. 
den nicht geändert wird, so sind mehrfache Zusammenstellungen aus 
den nämlichen Zahlen zu vermeiden, welches dadurch geschieht, daß 
man nie eine größere Zahl vor eine kleinere setzt. Die Zerfällung 
der Zahl 8 in kleinere Zahlen giebt nach dieser Vorschrift folgende 21 
Summenformen: 
S 17, 26, 35, 44. 
116, 125, 134, 224, 2y3. 
1115, 1124, 1133, 1223, 2222. 
11114, 11123, 11222. 
111113, 111122. 
1111112. 
11111111. 
Die obige Bildungsregel bleibt auch daun gültig, wenn irgend eine 
Beschränkung der- Aufgabe nicht alle mögliche Zusammenstellungen, 
sondern nur eine gewisse Art und Anzahl derselben zuläßt, wie wenn 
z. B. 8 allein aus fünf kleineren Zahlen gebildet werden soll. 
(Aufg. 17-19, H. 20.) 
§. 17. Zahlenbildung durch Subtraction. Wird im Mi 
nuend und Subtrahend einer Differenzform die nämliche Zahl addirt 
oder subtrahirt, so bleibt der Inhalt der Differenz dabei ««geändert. 
Denn nach dem Schema der Subtraction: 
3 —1 + 1 + 1 -f- 1 -4-1 -f-1 +1 
b— 1 + 1 + 14-1 
a—b=l + l -t-1 
ist eö für den Rest ganz gleichgültig, ob die gemeinschaftlichen Ein 
heiten des Minuends und Subtrahends, welche durch einen Strich 
abgesondert sind, also auch ob a und b um gleich viele Einheiten ver 
mehrt oder vermindert werden. Demnach läßt sich jede beliebige 
Zahl r in unendlich verschiedener Weise als Differenz zweier 
Zahlen betrachten, welche um r Einheiten verschieden und deshalb von 
der allgemeinen Form (K-i-r)und k sind, worin man für k die Zahlen 
1, 2, 3, 4 u. s. f. zu setzen hat. Die Zahl 12 z. B. ist als Diffe 
renz — 13—1, 14—2, 15 — 3, 16—4, 17 — 5 u. s. w. Ist aber 
eine Gränze bestimmt, welche der Minuend oder Subtrahend nicht 
überschreiten sollen, so ist dadurch die Anzahl der Formen beschränkt. 
So erhält man z. B- für 7, wenn der Minuend die Zahl 15 nicht 
überschreiten darf, die Differenzformen: 
7=8—1, 9—2, 10—3, 11—4, 12-5, 13 — 6, 14—7, 15 — 8. 
§. 18. Zahlenbildung durch Multiplication. Nicht jede 
ganze Zahl laßt sich auf dem Wege der Multiplication aus andern 
ganzen Zahlen, als ihren Factoren, in ähnlicher Weise bilden, wie 
dieses durch Addition kleinerer Zahlen jedesmal auf mehrfache Weise 
möglich ist, sofern sie 2 übersteigt. In der unbegränzten Reihe gan 
zer Zahlen findet sich vielmehr eine Abtheilung solcher, welche nur 
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