392 2. Abth. Geometrie. Anfangsgr. d. h. Geom. §. 339.
§.338. Gleichungen der Curven. Der Umstand, daß
eine jede gerade Linie, welches auch ihre Lage gegen die Coordi-
natcnachsen sein möge, sich durch eine Gleichung des ersten Gra
des darstellen läßt, giebt zu erkennen, daß die krummen Linien,
wenn sie überhaupt einer ähnlichen analytischen Darstellung fähig
sind, nur durch Gleichungen von höheren Graden, als dem ersten
sich werden ausdrücken lassen, so wie daß solche Gleichungen zwischen
zwei Veränderlichen nur Curven entsprechen können Denkt man
sich in der That eine höhere Gleichung der Form y = f (x) durch
Bestimmung mehrfacher Coordinateu wirklich consiruirt, so muß
der, durch die Endpunkte der Ordinalen gehende, Zug nothwendig
eine Curve darstellen; denn angenommen, cs wäre eine gerade
Linie MF (Fig. 137.), so hätte man für jeden beliebigen Punkt M
derselben die Gleichung:
M N AI) w y — b a
DN “ ÄF CUr ~x~ — T'
also y = ax -f- b, gegen die Voraussetzung, wonach die gegebene
Gleichung von einem höher», als dem ersten, Grade sein sollte. Da
aber die Menge der Formen höherer Gleichungen zwischen zwei Ver
änderliche» augenscheinlich unbegränzt ist, so pflegt man sich bei ihrer
anfänglichen Betrachtung auf die sogenannten algebraischen zu
beschränken, worin nur gegebene rationale Exponenten von x unb y
vorkommen, die transscendenten Gleichungen (und Curven) hinge
gen, worin irrationale Exponenten oder auch logarilhmische und trigo
nometrische Functionen von x und y erscheinen, (wie z. V. log.
y = stx 2 + 1), y == a . cos x — b . fcang x) unbeachtet zu lassen.
§. 339. Jntersection der Curven. Sei y = f (x) die
Andeutung einer beliebigen algebraischen Gleichung zwischen zwei
veränderlichen Größen, so erhält man, y — 0 setzend, in f(x) = 0
den besondern Zustand der Gleichung, worin sämmtliche Wur
zeln oder auflösenden Werthe von x Abscifsen derjenigen Punkte der
Achse darstellen, in welchen dieselbe von der Curve geschnitten
wird. Die Anzahl der Wurzeln der Gleichung t' (x) — 0 hangt
aber (nach §. 188.) von dem Grade derselben ab; ist sie vom nteu
Grade, so sind der Wurzeln auch u, worunter sich freilich (nach §.
191) imaginäre, jedoch nur paarweise, befinden können. Man darf
daraus schließen, daß eine Curve, die das Resultat der Consiruction
einer Gleichung vorn »ten Grade ist, in nicht mehr, als u Punk
ten von der Abscisftnachse durchschnitten werden kann, wohl aber in
wenigeren, sofern unter den Wurzeln der Gleichung f (x) = 0 auch
gleiche Wurzeln enthalten sein können oder neben dcn reellen auch
etwa imaginäre vorkommen, die begreiflich nicht durch Absciffen von
bestimmter Länge, wie die reellen Wurzeln, dargestellt werden kön
nen. Demnach bieten die verschiedenen Grade der algebraischen Glei-
