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1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. 
§. 21. 
Zweites Capitel. 
Die gebrochenen Zahlen. 
§. 21. Bestandtheile des Bruchs. Es ist schon oben (§. 
3.) bemerkt worden, daß zur Angabe solcher Größen, in denen die 
angenommene Einheit nicht genau mehre Mal enthalten ist, sie 
mögen nun kleiner oder größer als dieselbe sein, zwei verschiedene 
Zahlen erfordert werden, von denen die eine darzustellen hat, was 
für Theile, die andere hingegen, wie viele Theile der Einheit ge 
nommen werden sollen. Jene heißt, weil sie die Theile, worin 
die Einheit zerfällt werden muß, nennt, der Nenner, diese 
aber, weil sie die Jnhaltsmenge solcher Theile zählt, der Zäh 
ler der gebrochenen Zahl oder des Bruches. Ist der Zähler klei 
ner als der Nenner, also der Inhalt des Bruchs geringer als die 
Einheit, so wird derselbe ein ächter Bruch, ist der Zähler hingegen 
größer, als der Nenner, also jener Inhalt größer als die Einheit, so 
wird der Bruch ein unächter genannt. Augenscheinlich wird durch 
Vergrößerung des Zählers oder auch durch Verminderung deS Nen 
ners der Werth oder Inhalt eines Bruchs vermehrt, hingegen 
durch Verkleinerung des Zählers oder auch durch Vergrößerung des 
Nenners jener Werth vermindert. Wird der Zähler —0, so ver 
schwindet damit der Inhalt des Bruchs; setzt man aber den Nen 
ner — 7, so verliert die Bruchform die Bedeutung einer wirk 
lichen Zahl. (Aufg. 1 — 5, §. 30.) 
§.22. Bruch form. Beide zur Angabe des Bruchs nothwen 
digen Zahlen werden durch einen Strich von einander getrennt, und 
zwar der Zähler über, der Nenner unter denselben gesetzt. So be 
deutet die Bruchformallgemein m Theile der Einheit, wenn die- 
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selbe in n gleiche Theile zerlegt worden, also z. B. g- vier Theile 
der in Fünftel zerlegten Einheit. Betrachtet man dagegen diese 
Form als Andeutung einer Division, so drückt sie (nach §. 13.) die 
Forderung aus, 4 durch 5 zu dividiren. Dieses -geschieht nun aber, 
indem man jede der vier Einheiten des Dividends in fünf gleiche 
Theile zerlegt, wodurch man deren 20 erhält, und diese Anzahl durch 
5 dividirt. Der Quotient 4 drückt dann Fünftel der Einheit aus, 
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wonach die Bedeutung der Quotieutenform -^-sd.i. 4 dividirt durch 
5) mit derjenigen der Bruchformen -4- (d. i. vier Fünftel) völ 
lig zusammenfällt. Allgemein lassen sich der Divisions'andeutung 
gemäß alle m Einheiten des Dividends in n gleiche Theile (utei)