§. 358. 4. Capitel. Ebene und krumme Flächen 
die nämlichen Coordinaten haben, oder es müssen die veränder 
lichen Zahlen in beiden Gleichungen für diesen besondern Umstand 
als gleichbedeutend angesehen werde». Eliminirt man alsdann eine 
derselben, z. B. z, so enthält die neue Gleichung nur die beiden an 
dern, x und y, und ist somit Ausdruck einer Linie, welche in der 
Ebene AXY von der Projektion des Flächeudurchschnitts gebildet 
wird. Die Elimination von x wurde auf gleiche Weise eine Glei 
chung zwischen y und z, also den Ausdruck einer zweiten Pro 
jektion jenes Durchschnitts, in der Ebene AZY, liefern und eben 
dadurch jene Linie im Raume bestimmen. 
§. 357. Eintheilnng der Flächen. Da man bei der un 
endlichen Mannigfaltigkeit in der Gestalt krummer Flächen mit dem 
höchst allgemeinen Unterschiede geschloffener und unbegränzter Flächen 
keine Eintheilung derselben begründen kann, so nimmt man auch 
hier, wie bei den Curven, das Princip derselben am zweckmäßigsten 
von der Beschaffenheit der Gleichungen her, die nach dem 
Vorhergehenden als ihr analytischer Ausdruck betrachtet werden dür 
fen. Zunächst unterscheidet man demnach algebraische und trans 
cendente Flächen, je nachdem die Gleichungen zwischen den Coor 
dinaten algebraisch sind, wie z. B. z = l/x+y, oder transcenden 
tal, wie x . y — s'm z, von denen jedoch nur die ersten pflegen 
in Betracht gezogen zu werden. Nach dem Grade, zu welchem 
sie sich durch die Anzahl der Coordinaten - Faktoren in den 
einzelnen Gliedern erheben, bestimmt man auch die Ordnung der 
Flächen. So stellt die Gleichung x* 4- xyz 4- z 2 = a eine 
Fläche der dritten Ordnung dar, weil eines ihrer Glieder Product 
aus drei Coordinaten-Factoren ist; die Gleichung x — 4y 4 z 2 = a 
hingegen eine Fläche der sechsten Ordnung, weil y 4 z 2 — y.y. 
y . y . z . z. 
H. 358. Flächen der erfhii Ordnung. Sei die Gleichung 
zwischen x, y, z begriffen unter der allgemeinen Form 
Ax + B y + C1 + U — 0, 
also vom ersten Grade, so ist die von ihr analytisch dargestellte 
Fläche eine Ebene. Denn setzt man in der vorstehenden Gleichung 
x, y, z nach einander — v oder auch — k, so entstehen die Glei 
chungen der Form: 
By 4- Cz 4- D = ö; Ax 4- Cz 4- D = 0; Ax 4- By 4- D = 0, 
welche (nach §. 333) Ausdrücke gerader Linien sind, die in den 
drei Coordinaten-Ebenen oder ihnen parallelen Ebenen liegen. Noch 
allgemeiner kann man den Beweis durch Verbindung der Gleichung 
(1) Ax 4- Ly 4- Cz 4- D = 0 mit einer andern der nämlichen Form 
(2) A'x 4~ By 4^ C'z 4- P' == 0 führen; denn indem man (I) durch