414 2. Abth. Geometrie. Anfangsgr. d. h. Geom. K. 360. 
A' und (5) durch A multiplicirt, erhält mau durch Subtraktion die 
Gleichung * 
(3) (AB' — AB) y + (A'C 4- AC')* + (A I) — AD') — 0, 
welche Ausdruck einer geraden Linie in der Ebene AYZ ist. Da 
nun die Projektionen des Flächendurchschnitts in den Ebenen AXY 
und AXZ auf gleiche Weise als gerade Linien sich ergeben, so kön 
nen die durch (I) und (2) ausgedrückten Flächen keine andere, als 
Ebenen sein. 
§. 359. Flächen der zweiten Ordnung. Die allgemeine 
Form der Gleichungen vom zweiten Grade zwischen x, y, z, wodurch 
Flächen der zweiten Ordnung ausgedrückt werden, ist: 
Az* 4-Byz4-Cxz4-Dy 2 4-Exy4-Fx 2 H-Gz4-Hy4-Ix 
+ K = 0. 
Setzt man nun auch hier x, y, z successiv — 0, so entstehen die 
Gleichungen: 
Az* -f- Byz 4- Dy 2 + Gz 4- Hy + K = 0; 
Az 2 4- Cxz 4- Fx 2 4- Gz 4- Ix 4- K = 0; 
Dy 2 4- Exy 4- Fx 2 + Hy -f- Ix 4- K = 0; 
wodurch (nach H. 341) drei Curven der zweiten Ordnung dargestellt 
werden, die in den Ebenen AYZ, AXZ, AXY liegen. Da nun 
(nach §. 342, vergl. mit dem folgenden Capitel) die Kegelschnitte 
der Parabel, Ellipse und Hyperbel als die einzigen Curven 
der zweiten Ordnung erkannt worden sind, so folgt aus den obigen 
Gleichungen, daß jede Fläche dieser Ordnung auch eine jener drei 
Curven zum Hairptschnitt haben müsse. In Ansehung der Parallel- 
schnitte folgt das Nämliche, wenn man (nach §. 356) x, y, z = 
p, q, r setzt. Sind alle diese Interjektionen Ellipsen, so muß die 
Oberfläche eine geschlossene, sind hingegen darunter Parabeln oder 
Hyperbeln, so muß sie eine unbegränzte sein. 
§. 360. Rotationsflächen. Auf die einfachste Weise läßt 
man krumme Flächen durch die Vorstellung entstehen, daß eine (ge 
rade oder krumme) Linie in gleichbleibendem Abstande sich um eine, 
als Achse gegebene Grade drehe, und pflegt, dieser Entstehungsart 
wegen, die von der drehenden Linie erzeugte Oberfläche eine Ro 
tationsfläche zu nennen, wovon die Erzeugung der Kugel durch den 
rotirenden Halbkreis das nächste Beispiel liefert. Ist uns die Glei 
chung der erzeugenden Linie in der Gleichung y = f(x) gegeben, 
so wird sich diejenige der Rotationsfläche, von der Gestalt z = 
(f(x, y), immer ohne Mühe ableiten lassen, indem jeder auf der 
Achse senkrecht stehende Parallelschnitt ein Kreis sein muß. Sei L 
(Fig. 159) ein beliebiger Punkt der Oberfläche, AB ihre Achse, und