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§. 360. 4. Capitel. Ebene und krumme Flachen. 
AGK die willkürlich angenommene Ordinate«-Ebene, so entsteht, 
wenn man durch L eine Durchschnitts-Ebene GLK senkrecht zur 
Achse legt, der Kreis DGEK, worin die Senkrechte LM = z, MP 
— y und PG = PL = w gesetzt werden mag. Dann ist z 1 2 
= w 2 y 2 , und wenn der Ausdruck des, mit jeder Absciste x 
veränderlichen Radius w = f(x) gesetzt wird: 
z 2 — f(x) 2 — y 2 oder z 2 ~b y 2 — f(x) 2 . 
I. (Fig. 159.) Die nächste Anwendung dieses allgemeinen 
Verfahrens, die Gleichungen der Rotationsflächen zu erhalten, möge 
die gerade Linie erfahren, deren Gleichung w = ax H- b ist, 
wenn w die Ordinate PG bezeichnet, der Anfangspunkt aber beliebig 
in A angenommen ist. Durch Substitution dieses Werthes von w 
erhält man 
z 2 -b y 2 = st 2 x 2 ~b 2abx -b b 2 
als Ausdruck der, durch Rotation der Linie MG um AB entstehenden 
Kegelfläche. 
II. (Fig. 159.) Eine Cylinderfläche entsteht, wenn die der 
Achse parallele Linie GF in gleichbleibendem Abstande um dieselbe 
sich bewegt. Die Gleichung einer solchen Linie ist aber (nach §. 334) 
w = b, mithin für diesen Fall: • 
z 2 + y 2 = b 2 . 
III. (Fig. 159.) Um die Gleichung der Kugetoberfläche zu 
erhalten, hat man, wenn A als Anfangspunkt gewählt und der Ra 
dius CG = a gesetzt wird. w 2 = AP . PB = x(2a — x) also: 
(1) z 2 -+* y 2 =2ax — x 2 oder z 2 -b y 2 -b x 2 = 2ax; 
wenn man hingegen die Coordinaten auf den Mittelpunkt C bezieht, 
so ist w 2 = a 2 — x 2 , also: 
(2) z 2 -b y 2 — a 2 — x 2 oder z 2 + y’+ = a 2 . 
IV. (Fig. 160.) Wählt man zu der erzeugenden Curve der 
Rotationsfläche eine Parabel GAE, wodurch ein sogenanntes Pa- 
raboloid entsteht, so ist (nach §. 345) w 2 =px, und nach Ein 
führung dieses Werthes in die allgemeine Gleichung: 
z 2 by 2 — i»x. 
V. (Fig. 160.) Die Gleichung der Oberfläche eines Elli psoids 
zu finden, welches durch Drehung einer Ellipse AgBk. uni ihre 
Achse erzeugt wird, setze man in Beziehung 'auf den Scheitelpunkt A 
b 2 
(nach §. 349) w 2 — “(2ax —x 2 ), also: 
(1) z 2 -b y* = ^7 (2ax — x 2 ) oder a 2 z 2 + a 2 y 2 H- b 2 x 8 
== 2ab 2 x;