H. 361. 4. Capitel. Ebene und krumme Flächen. 417 
Sei die Gleichung des Kegels in Beziehung ans seinen Scheitel 
als Anfangspunkt (nach §. 360, I.) 
z 2 -I- y 3 — a 3 x 2 
und die der Ebene: Ax — — (By Cz + D), so erhält man 
durch Elimination von x: 
A-(z 2 -+- y 3 ) = .v(By + C Z + D) 2 , 
also eine Gleichung des zweiten Grades zwischen z und y, welche 
unter die allgemeine Form solcher Gleichungen fällt, und demnach 
eine Parabel, Ellipse oder Hyperbel darstellen muß. Hiernach ist die 
Projection eines Kegelschnitts wiederum ein solcher. 
4. Die Projections-Gleichung des Durchschnitts einer Kugel 
und einer Ebene zu finden. 
Die Gleichungen sind (nach §. 338 und §. 360, 111.): 
x 2 H- y 3 1 z 2 — R 2 und Ax -f- By ~f- Cz -f- D = 0, 
und nach Elimination von Z 2 bleibt: 
C 2 R 2 _ C 2 (x 2 y 2 ) = (Ax + By + D) 2 , 
eine Gleichung des zweiten Grades, welche (da x oder y nicht 
unbestimmt groß werden können) eine geschlossene Curve, also eine 
Ellipse, darstellt. 
3. Die Bedingungen anzugeben, unter denen ein Paraboloid 
von einem Kegel berührt wird, wenn die Achsen beider zusammen 
fallen. 
Die Gleichung des Kegels ist (nach H. 360, 1.): 
z 2 y 2 = a 2 x 2 -f- 2abx -1- b 2 
lind die Gleichung des Paraboloids (nach 360, IV.): 
z 2 -f- y 2 = px. 
Angenommen, daß beide Flächen einander durchschneiden, so 
hat man für die Interjektionen, deren im Allgemeinen zwei sein 
werden: 
px — a 2 x 2 2abx b s 
oder x — 2a 2&b ) " 
wo M eine Function von a, b, p bezeichnet. In dem besondern 
Falle aber, wo die krummen Flächen einander nur berühren 
sollen, kann es keinen zweifachen Werth für x geben; also ist die 
die Bedingung für diesen Fall, daß M = 0 und 
p — 2ab . , p 
i = V'' te,s+b =r»' 
Die Bedingungen anzugeben, unter denen ein Paraboloid und 
eine Kugel einander berühren. 
Die Gleichungen sind (nach H. 36 111 und IV.), wenn der Mit- 
Tellkompfs MalhkNicttit. 4. Tlufl. A7