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f 21. 
§. 23 2 Capitel. Die gebrochenen Zahlen. 
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fünf gleiche 
Anzahl durch 
Einheit aus, 
ldividirt durch 
fünftel) völ- 
nsandeutung 
Theile (utel) 
zerlegen, wodurch man eine Anzahl derselben — m.n erhält. Diese 
giebt durch den Divisor n dividirt, (llach §. 13.) zum Q.uotienten die 
Zahl m, welche o-Theile der Einheit (ntel) zählt, womit es völlig 
übereinstimmt, wenn man -j- als Bruchform betrachtet. 
Anmerkung I. Es ist demnach gleichgültig, ob man die Andeutungen 
—-ü-, als Quotientenformen oder als Brüche betrach- 
6 20 100 
tet, d. h. ob man sie als 5 durch 6, 17 durch 20, 538 durch ioo di 
vidirt, oder vielmehr als 5 Sechstel, 17 Zwanzigstel, 538 Hundertel 
der Einheit erklärt. 
Anmerkung II. Brüche von der Form-!- z. B. i-, welche 
einen einzelnen Theil der zerlegten Einheit ausdrücken und daher 
i zum Zähler haben, werden Stammbrüche genannt- 
§. 23. Verändernng der Bruchform. Da (nach H. 19.) 
jede Quotientenform durch Multiplication oder Division auf unend 
lich verschiedene Weise umgestaltet werden kann, ohne daß dadurch 
ihr Werth eine Aenderung erleidet, so gilt nach dem Vorhergehen 
den das Nämliche von der allgemeinen Bruchform Es ist also: 
in m.k in m:p 
' n n.k ' u n:p 
sofern m und n Vielfache Zahl der p sind. Die Gültigkeit dieser 
beiden Umformungen läßt sich auch unnlittelbar in der Bedeutung 
des Bruches erkennen, dessen Werth nicht geändert sein kann, 
wenn man entweder (1) so viel mal mehr Theile setzt, als man 
dieselben (durch mehrmalige Theilung der Einheit) kleiner ange 
nommen hat; oder (2) so viel mal weniger Theile nimmt, als 
man dieselben (durch geringere Theilung der Einheit) größer ge 
bildet hat. So ist z. B. 
5 — 5.7 35' J 51 “17.3 “ 3 
Die erste dieser beiden Umgestaltungen der Bruchform kann man 
am Schicklichsten eine Erweiterung, die andere eine Reduktion 
derselben nennen, da hier nicht an Vergrößerung oder Verkleinerung 
(welche sich stets auf den Werth oder Inhalt von Zahlformen bezie 
hen) gedacht werden darf. Jeder ganzen Zahl a kann man die Form 
eines Bruches dadurch ertheilen, daß man ihr, als Zähler, den Nen 
ner 1 untersetzt da nach dieser Andeutung die Einheit un- 
getheilt a mal gesetzt werden soll.