442 2 Abth. Geometrie. Anhang. Geom. Oerter. §. 374 
also auch (GT + FT) : FT = (GM + FM): FM oder 
FT : GF = MF : (GM -4- MF). 
5. (Fig. 156.) Die senkrechten Ordinate« der Hyperbel zu bei 
den Seiten der verlängerten Hauptachse sind einander gleich. 
Den» da Mm die Gerade GF senkrecht schneidet, so ist 
(1) MG- — MF- — mG- — mF-, oder 
(2) (MG -F MF) (MG — MF) — (mG -f- mF) (mG — mF). 
Da nun nach der Des. MG — MF = raG — mF, so ist 
(3) MG + MF = mG + mF und durch Addition 
(4) MG — mG, folgt auch MF — mP. 
6. Die Summe der beiden Brennstrahlen eines Hyperbelpunk» 
tes M verhält sich zur doppelten Abscisse desselben, wie der Abstand 
der Brennpunkte zur Hauptachse. 
Delltt es ist (§. 255, L. 6, Zus. II.): 
(1) (GM —FM): (GF—FP) = (GP+FP):(GM + FM) oder 
(2) AB : GF = (GF + FP) : (GM + FM), 
und wenn GP = CP -+- GC, FF — GF — GF gesetzt wird, 
(3) (GM -+- FM): 2CP = 2CF : AB. 
Zusatz. Da nach der Des. (1) GM — FM 
und nach dem Vorhergehenden (2) GMh 
CF . CP 
FM 
2AC, 
2CF 
CP 
CA 
so folgt I. GM — 
II. FM 
CA 
CF . CP 
CA 
CA: 
CA. 
7. (Fig. 156.) Die Ordinate FM einer Hyperbel verhält sich 
zur mittleren Proportionale zwischen den Abschnitten AP, BP der 
verlängerten Hauptachse, wie die Nebenachse zu dieser. 
Denn cs ist MF- — FM- — FP 2 , d. h. (nach L. 6, Zus.): 
cf cp -iy-(cp-cF)’ 
MF 
= ( 
CA 
CF- . CP a 
CA* 
CP 2 
CA 
— CF- | 
= ( 
4- CA 2 
CA 2 
CP 5 
CF 5 
CA 
CF 2 —CA 2 
) 
) 
— (CP 2 - CA 2 ) 
(CP 2 — CA 2 ); und da 
CF 2 —CA 2 = CD 2 , CP 2 — CA 2 — (CP — CA) (CP 
CD 2 ... .... MF- CD 2 
MF- — tttt . AP.PB oder 
-CA) ist 
DE 2 
CA 2 vvv * AP . BP CA 2 AB 2 ' 
Zusatz I. Ist die Nebenachse der Hauptachse gleich, also die 
Hyperbel eine gleichseitige, so ist MP 2 —AP. BP; und wenn man 
aus P (Fig. 178.) eine Tangente PT an den Kreis über der Haupt 
achse zieht, MP* = PA . PB == PT 2 , also MP = PT.