§. 374. 
II. Die Kegelschnitte. 
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Zusatz II. Der Parameter der gleichseitigen Hyperbel ist jeder 
ihrer Achsen gleich. (Fig. 178.) 
Denn da FN* = FA . FB und (nach §. 373.) CD 3 = AF.AG 
— FA.FB. so ist FN = CD oder Nn = DE. 
Zusatz III. Die Ordinate MP (Fig. 156.) einer ungleichseitigeil 
verhält sich zu derjenigell M'P einer gleichseitigen Hyperbel von der 
nämlichen Hauptachse, wie ihre Nebenachse zu dieser. 
Denn da MP* = PA. PB, so ist MP* : PA.PB —MP* :MP* 
— DE 2 : AB*. 
Zllsatz IV. Setzt man die Abscisse CP einer beliebigen Hy 
perbel (Fig. 156.) — x, die Ordinate PM = y, die Hauptachse 
AB — 2a, die Nebenachse DE — 2b, so ist 
(x — a) (x a) — -- (x* —a*) 
y 
a 
die auf das Centrum bezogene Gleichung der Hyperbel. 
Zusatz V. Der Parameter einer Hyperbel MAm ((Fig. 156.) 
ist vierte Proportionale zu ihrer Hauptachse und Nebenachse. 
Denn da (nach Zusatz III.) GN : GN'= DE : AB und (nach 
Zusatz II.) GN' = CD, so ist 2GN:2CD=DE:AB oder 
AB : DE = DE : Nn. 
Zusatz VI. Betrachtet man den Scheitel A als Anfangs 
punkt der Absciffen, so daß AP — x, PM — y sei, so ist y* 
1> 2 . 
= — x (2a “H x); oder wenn man den Parameter Nh == p setzt' 
da (nach Zus. V.) 2a : 2b — 2b : p oder b* = ^ap ist, ebenfalls 
y* — x (2a + x) = px -f- x*; übereinstimmend mit 
der Gleichung, welche man für den Schnitt eines Kegels RKS 
(Fig. 155.) und einer Ebene MAm erhält, wenn diese seine Achse 
KO unter einem Winkel < W. CKD durchschneidet. 
8. (Fig. 156.) Die Asymptoten CT, CU treffen die Hyper 
bel nicht, wie weit sie auch verlängert werden. 
Denn angenommen, es könne irgend ein Pnnkt M mit R zusam 
menfallen, so wäre (nach L. 7.) (l) MP* (oder RP 3 ): AP . BP 
= CD*:CA*, und wegen Aehnlichkeit der Dreiecke (2) RP*:CP* 
= AK* : CA* = CD* : CA*. Hieraus würde folgen, daß 
AP . BP — CP*, welches unmöglich ist, weil (3) AP . BP = 
(CP — CA) (CP -+• CA) = CP* — CA*. 
9. (Fig. 156.) Wenn man eine Hyperbelsehne Mm bis zu den 
Asymptoten verlängert, so ist das Produkt (Rechteck) aus den Thei 
len MR und Mr dem Quadrate der halben Nebenachse gleich. 
Denn es ist nach vorigem Beweise: