f. 31.
3. Capitel. Gegensatz der Zahlen.
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Drittes Capitel.
Gegensatz der Zahlen.
§. 31. Gegensatz der Grundoperationen. Es ist von
besonderer Wichtigkeit, bei Betrachtung der Grnndoperationen in gan
zen Zahlen die gegenseitige Beziehung derselben aufzufassen, wo
nach Addition und Subtraktion, so wie Multiplication und Division
ihre Wirkung auf eine gegebene Zahl entweder ganz oder doch we
nigstens theilweise aufheben, wenn eine dieser Operationen unmit
telbar nach der andern vorgenommen wird. Man erkennt diesen
doppelten Gegensatz in den Beispielen:
I.
(12-1-5) — 5=12;
(12 — 7)4-7=12;
11.
(12-1-5) —3 = 14;
(12-3)4-7 = 16;
111.
(12X6):6—12;
(12:4)X4 = 12;
IV.
(12x6): 3=24;
(12:4)X5 = 15;
wo in 1 und
11 die beiden ersten,
in III und IV die beiden letzten
Grnndoperationen einander aufhebend gegenüberstehen. Aber
nicht allein der Begriff entgegenstehender Operationen, sondern auch
der einer gleichartigen Zahlenverbindung, sei es Addition oder
Multiplication, führt unter bestimmten Voraussetzungen zu der Vor
stellung entgegengesetzter Zahlen, d. h. solcher, die auf die näm
liche Weise mit einer dritten Zahl verbunden, einander gegenseitig
(ganz oder theilweise) vernichten oder aufheben.
§. 32. Entgegengesetzte Zahlengiieder. Eine Zahl a,
welche in Beziehung auf irgend eine, ursprünglich vorgestellte k als
Vermehr»ng derselben gedacht und demgemäß durch —u angedeu
tet wird, heißt additiv oder positiv; eine Zahl b, in Beziehung
auf k als Vermindern ng gedacht und deshalb durch — b ausge
drückt, hingegen eine subtractive oder auch negative Zahl. ES
ist leicht wahrzunehmen, wie in diesem Sinne der linbegränzten Reihe
positiver Zahlen eine eben so unbegränzte Reihe negativer Zah
len gegenüberstehen muß; denn wie durch wiederholtes Addiren, so
läßt sich nicht minder durch wiederholtes Subtrahiren der Einheit
eine in's Unendliche fortlaufende Zahlenreihe bilden, deren Glieder
sich von den Gliedern jener Reihe keineswegs durch ihren Inhalt,
sondern vielmehr durch die Beziehung des Gegensatzes, worin
sie zu einander stehen, wesentlich unterscheiden. Auf diese Weise er
hält man als vollständigere Andeutung der Reihe ganzer Zahlen:
• • • 4, 3, 2, 1, 0, -Hl, +2, 4-3, -f-4, +5, . .
worin auf der einen Seite die Reihe aller positiven Zahlen durch
wiederholtes Setzen der additiven Einheit, auf der andern aber
die Reihe der negativen Zahlen durch Wiederholung der snbtrac-
tiven Einheit sich erzeugt.