§. 34. 
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3. Capitel. Gegensatz der Zahlen. 
§. 34. Addition positiver und negativer Zahlen. 
Sollen zwei Zahlen ±a und ±b, von denen a als die größere vor 
ausgesetzt werden mag, addirt werden, so geschieht dies nach einer 
der folgenden vier Andeutungen: 
I. (—f— —|— ( —|— b) = —|— (a —i— b). 
II. (—a) —1— ( — b) =— (a —|— b). 
III. (+a) + (—b) = + (a — b). 
IV. ( — a)-fr-(-fr-b) =— (a — b). 
Denn da durch das zwischengestellte Additionszeichen eine Vereini 
gung beider Zahlen gefordert wird, so ist es an sich klar, daß ihre 
Einheiten (oder Einheitstheile) in eine gleichbezeichnete Summe 
zusammengezogen werden müssen, sofern sie einstimmig sind, wie in 
l und II; ferner folgt unmittelbar aus dem Vorhergehenden (§. 33, 
L. 2.), daß ihre Differenz mit dem Zeichen der größern Zahl ge 
nommen werden muß, wenn beide entgegengesetzte Zeichen haben. 
Hieraus fließt folgender Lehrsatz: 
Zwei Zahlen (dba, ±b) werden addirt, indem man ihrer 
Summe das gemeinschaftliche Zeichen giebt, wenn sie einstimmig, 
ihrer Differenz aber das Zeichen der größeren, wenn sie entgegen 
gesetzt bezeichnet sind. (Aufg. 1 — 3, § 40.) 
Zusatz. Durch mehrfaches Setzen der nämlichen, positiv oder 
negativ bezeichneten, Zahl erhält man ein positives oder negatives 
Vielfaches dieser Zahl: 
(-fr - a). m——fr-1 ,a.iu=-|-1. m ,a=3z—fr—m. a 
(—a).ra=— l.a.m= — l.ma. = —,». a 
§. 35. Subtraktion positiver und negativer Zahlen. 
Die Fälle, welche bei der Subtraktion positiver und negativer Zah 
len eintreten können, sind in nachstehenden 4 Formeln enthalten, de 
ren Richtigkeit sich ergiebt, wenn man, der Erklärung des Subtra- 
hirens (§. 10.) gemäß, den Subtrahend der Differenzform auf bei 
den Seiten addirt. 
I. (“fr— a)—(—fr— b)=(—fr— a) —fr— (—b). 
II. (—a)—( — b)=(—a)-fr-(-fr-b). 
III. (-fr- a) — (—b) = (-fr- a) -fr- (-fr- b). 
IV. (—a) — (-fr-b) = (—a)-fr-(—b). 
Aus diesen Formeln folgt unmittelbar als Lehrsatz der Subtraktion: 
. Eine Zahl (dbb) wird von einer andern (±a) subtrahirt, in 
dem man sie mit dem entgegengesetzten Vorzeichen zu dieser 
addirt. (Aufg. 4—6, §. 40.) 
Zusatz. Soll das Mehrfache einer positiv oder negativ be 
zeichneten Zahl von einer andern subtrahirt werden, so brallcht man 
nur ihr Mehrfaches mit dem entgegengesetzten Zeichen zu 
addiren; d. h. es ist 
k—(-fr-a)m=k-fr-(—a)m v 
k—(—a) m ü; k -fr- ( -fr» a) in, 
TMmpf's MMWlis, fr. 
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