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H. 38. 3. Capitel. Gegensatz der Zahlen. 
deren Richtigkeit, der Erklärung der Division (§. 13.) gemäß, sich 
unmittelbar ergiebt, indem man den Quotienten mit dem Divisor 
(nach §. 36.) multiplicirt. Eine gemeinsame Vorschrift für die ver 
schiedenen, in jenen Ausdrucken dargestellten Fälle der Division um 
faßt folgender Lehrsatz: 
Der Quotient zweier Zahlen (drab) und (dba) ist positiv, 
wenn jene Zahlen einstimmig, hingegen negativ, wenn sie ent 
gegengesetzt bezeichnet sind. (Aufg. 13—15, §. 40.) 
§. 38. Entgegengesetzte Faktoren. So wie eine Zahl k 
durch Additivn gleicher, aber entgegengesetzt bezeichneter Sum 
manden (-1-a und —a) ungeändert bleibt, kann man sich ebenfalls 
vorstellen, daß sie durch Multiplication mit zwei Faktoren (m 
und n) nicht geändert, d. h. daß k.m.n wiederum =k werde. Da 
nun aber eine Zahl durch Multiplication nur dann ungeändert blei 
ben kann, wenn man sie einmal nimmt, so kann jene Bedingung 
nur dadurch erfüllt werden, daß man das Product der beide« Fakto 
ren von k, d. h. ra.n=l setzt. Demnach ist nothwendig: 
(1) wenn m eine ganze Zahl =a ist, der Factor n=— ; 
(2) wenn m ein Stammbruch = ist, der Factor n=a; 
a b ' 
(3) wenn ra eine Bruchform = -^-ist, der Factor n=~; 
denn nur unter diesen Annahmen kann (nach §. 27.) k.m.n=k wer 
den. Es sind also die ganze Zahl a und der Stammbruch all- 
gemeiner aber die Bruchformen und — f Factoren von der Be 
schaffenheit, daß ihr Product =1 ist, folglich die Multiplication 
einer Zahl durch beide nach einander dieselbe ungeändert läßt, wes 
halb sie entgegengesetzte Factoren zu nennen sind. Da jedes 
mal der eine dieser Factoren großer, der andere durch Umkehrung 
desselben entstehende aber kleiner, als die Einheit sein muß (sofern 
nicht etwa m=n=l angenommen wird), so kann man beide als 
den vergrößernden und verkleinernden Factor von einander im* 
terscheiden, z. B. 
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5 Uttd -?r, 1 UNd ~j~, löö UNd 100. 
§. 39. Verbind«ng entgegengesetzter Factoren. Sollen 
mehre entgegengesetzte Factoren mit einander verbunden werden, so 
hat man zwei Fälle zu unterscheiden: 
(1) Die vergrößernden und verkleinernden Faktoren sind in 
gleicher Anzahl vorhanden. In diesem Falle kann man sie all- 
3*