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1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §. 42.
ganze und gebrochene Zahlen ohne Unterschied gegeben sind. Sogar
der Gegensatz, welcher zwischen Addition und Subtraktion stattfin
det, kann in jene unbestimmte Zahlenandentung aufgenommen wer
den, indem man sich unter den einzelnen Buchstaben entweder po
sitive oder negative Zahlen (nach §. 32.) vorstellt, wonach z. B.
die Summenform 34-bdie besonderen Fälle 4-1-8, 7 — 5, 104-3,
—6—7, -f zugleich in sich fassen würde. Um demnach den
vier Grundoperationen der Arithmetik die größte Allgemeinheit zu
ertheilen, darf man nur jede besondere Voraussetzung über die Be
deutung der Zahlzeichen aufgeben und sich unter ihnen unbestimmte
Andeutungen eines gewissen Inhalts vorstellen, die nach bestimmten
Vorschriften der Rechnung mit einander verbunden werden sollen.
§. 42. Polyno m. Jede Verallgemeinerung der Grundopera-
tionen verlangt ferner, daß die Zahlformen, an denen sie vorgenom
men werden sollen, als Polynome, d. h. aus beliebig vielen Zah
len zusammengesetzt, betrachtet werden. Der allgemeinste Ausdruck
eines solchen Polynoms ist:
Pr^=c<4 — ß4“^4“^4“^4~SP4~ ic.#
worin durch die 4- Zeichen nur die Verbindung der Zahlenglieder
überhaupt angedeutet, die positive oder negative Beschaffenheit der
selben aber völlig unbestimmt gelassen wird. Soll diese näher ange-
gegeben werden, so sind die additiven und subtractiven Glieder durch
die Zeichen 4- und — ausdrücklich zu unterscheiden, wie z. B. in
P=«—^4-^4-^—«4-<p4- K.,
Sollen ferner die einzelnen Glieder als ein Vielfaches gewisser Zah
len A, B, C, D .... angesehen werden, so ist dieses durch Verbin
dung derselben mit Coefficienten zu bezeichnen, wie in
P=3A-4B4-7C4-8D —16E4-4F4- rc.,
oder allgemeiner in der Form
P=:wA4"/^H4 — T'C4“4— <jpF4~ JC.
§. 43. Umformung des Polynoms. Sei P der Inhalt
eines beliebigen Polynoms, z. B.
(1) P—«A — /SB-h^C — JD — rc.,
so läßt sich durch Addition aller subtractiv bezeichneten Glieder auf
beiden Seiten der Gleichheitszeichen (nach Ax. 1) eine Summen-
gleichung
P 4-/?B4-<5D4-£E=aA4-7'C4-yF
bilden, aus welcher durch Subtraction des zu P addirten Polynoms
(/?B4-ckv4-kE) endlich nach (Ax. 3) die Differenzgleichuug
(2) P —(«A4-^E4-PF)—M4-öv4-cE)
hervorgeht. Da man nun bei jeder beliebigen Umstellung der Glie
der im Ausdruck (1) stets zu der nämlichen Form (2) gelangen muß,
so ergeben sich aus dem Vorstehenden folgende Lehrsätze:
