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1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §. 57. 
werden identische (auch analytische) genannt. Sie müssen dem 
nach richtig sein, was auch immer die einzelnen Zahlen, welche die 
beiden Seiten bilden, bedeuten mögen. Gleichungen solcher Art 
ssnd z. B 
(!) a-t-b — c+d— eH-f=(a-f-b + d+f) — (c-f-c). 
(2) (a-j-b) (c-f-d) = ac-i-adH-bc-t-bd. 
(3) a 3 -4-3.i s b-+-3ab*H-b 3 = a 2 Hh-2ab-4-b 2 . 
a—|— b 
Da jede Gleichung nur dadurch umgeformt werden kann, daß 
man auf beiten Seiten derselben die nämliche Veränderung vor 
nimmt, so folgt, daß durch alle möglichen Umgestaltungen einer 
identischen Gleichung stets neue derselben Art hervorgehen müssen. 
Auch ist eine Gleichung, von weicher man durch beliebige Umfor 
mungen endlich zu einer augenscheinlich identischen gelangt, nothwen 
dig selbst identisch, weil man, von dieser ausgehend, zu der gege 
benen Gleichung zurückgelangen kann. So ist z. B- 
(a — b) 3 a 2 —2ab-f-b 2 /a — b\ 2 a 2 —2ab-f-b 2 
ka—kb a* -+-2ab + b 2 \a-4-b/ k 
eine identische Gleichung, weil man durch die Entwickelung der in 
ihr enthaltenen O-uotienteuformeu eine solche erhält. 
§. 57. Bedingungsgleichungen. Gleichungen, in denen 
die eine Seite nicht durch Umformung oder Entwickelung der an 
dern gebildet werden kann, in welchen also beide Seiten wesentlich 
verschiedene Ausdrücke enthalten, werden B e d i n g u n g s g l e i ch u n g e n 
genannt. Dadurch nämlich, daß ein Zahlenausdruck einem andern, 
der Andeutung nach von ihm abweichenden, an Inhalt gleich sein 
soll, wird eine Bestimmung über die einzelnen Zahlen getroffen oder 
eine Bedingung festgestellt, welcher sie genügen müssen, sofern die 
Gleichung richtig sein soll. Sei z. B. 
(1) a-3 = 7-b; (2) 4p=^; 
so müssen (1) die Zahlen a und b, zu einander addirt, die Summe 
12, und (2) die Zahlen p und q, mit einander multiplicirt, das Pro 
duct 3 geben. Würden anderweitig für die nämlichen Zahlen die 
beiden Gleichungen 
c») a —7=0—b; (4) 5p=ip 
aufgestellt, wonach a+b=16 und p.q=4 sein würde, so fände 
zwischen (I)und (3), so wie zwischen (2) und (4) ein Widerspruch 
statt, in Folge dessen diese Gleichungen nicht zugleich richtig sein 
können. Eine gegebene Bcdingungsgleichung ist demnach unrichtig, 
wenn sie einer anderweitigen Voraussetzung über die in ihr enthalte 
nen Zahlen widerspricht, welches bei identischen Gleichungen nie 
der Fall sein kann.