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1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §. 60.
Unbekannte von allen, außer ihr gegebenen, Zahlen befreien, so daß
sie auf der eiuen Seite der Gleichuug allein stehe. Ein
solches Alleinstellen (Jsoliren) der Unbekannten kaun aber (nach
§. 55. L. 5.) durch Transposition bewirkt werden, indem man
nämlich jede neben ihr vorhandene Zahl durch das der Andeutung
entgegengesetzte Verfahren auf die andere Seite hinübergeschafft. Sind
in der Gleichung die bestimmenden Zahlen zugleich bestimmt gege
bene (also in Ziffern ausgedruckt), so wird die Unbekannte am
Schluffe jener Umsetzungen durch eine, aus jenen zusammengezogene
gleichfalls bestimmt gegebene Zahl dargestellt; enthält dagegen die
Gleichung außer der unbekannten andere bestimmende Zahlen in
Buchstaben angedeutet, so wird der endliche Ausdruck der Auflö
sung eine Formel, welche als allgemeine Vorschrift für eine unend
liche Menge besonderer Fälle der Rechnung angesehen werden kann.
So ergiebt sich z. B. aus
(1) 8x—16=40 (2) az=4b+l
_ 4b—f— 1
der Werth x=7, z=—-—
Die Gleichungen selbst werden in dieser Beziehung als numerische
und algebraische, oder als Zahlen- und Buchstabengleichungen
unterschieden.
§. 60. Auflösung derGl eichungen mit einerUnbekannten.
Ist in einer Gleichung eine Unbekannte mit andern bestimmenden
Zahlen durch beliebige Andeutungen der Gruudoperationen verbunden,
wie z. V. in dem Ausdruck
ax—7b 3b
4 c x —° a 5a C ’
so ist das nächste Erforderniß, die Divisoren durch Multiplication
fortzuschaffen. In der dadurch umgeformten Gleichung
5a(ax—7 b )=100 a 2 cx — 12b cx—20ac 2 x.
ist alsdann die durch Einklammerung angedeutete Multiplication
wirklich auszuführen:
5a 2 x— 35ab=100a 2 cx—12bcx—20ac 2 x
und nunmehr eine Zusammenstellung sämmtlicher Glieder, welche die
Unbekannte enthalten, auf einer Seite der Gleichung vorzunehmen,
welches durch Transposition mit den entgegengesetzten Vorzeichen
erreicht wird:
— 35ab=100a 2 cx—12bcx—20ac 2 x—5 a 2 x.
ES bleibt dann nur noch übrig, die Unbekannte als gemeinschaft
lichen Factor mehrer Glieder auszuscheiden und beide Seiten der
Gleichungen durch das Polynom, welches ste multiplicirt, zu dividi-
ren, d. h. es ist:
