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?n. §. 60. 
§. 61. 5. Capitel. Einfache Gleichungen. 
freien, so daß 
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— 35ab = (100a s c — 12b c—20ac*—5a a )x 
, y ... —35ab 
toigusl) x — (lOOa 2 c—12bc—20ac a —5a a ) 
So wie im vorstehenden Beispiele läßt eine jede Gleichung des 
ersten Grades mit einer Unbekannten sich durch die (im §. 55.) 
angegebenen Umformungen schließlich auf die allgemeine Form 
\ 
x= -g- bringen, wo unter A und B Zahlformen aus bekannten 
oder bestimmenden Zahlen zu verstehen sind. Ob aber eine Glei 
chung vom ersten Grade sei, geht erst deutlich hervor, nachdem man 
die Divisoren derselben weggeschafft hat, da durch Multiplication mit 
solchen, welche die unbekannte Zahl enthalten, leicht Glieder entstehen 
können, welche diesen als mehrfachen Factor enthalten, wie dies 
z. B. mit der Gleichung a * ^ =mx+a der Fall sein würde, 
die sich in ax-b=crax 2 +cnx verwandelt, also vom zweiten 
Grade ist. 
§. 61. Auflösungen und Gleich»ngen mit zwei Unbe 
kannten. Eine Gleichung, welche zwei Unbekannte enthält, wird 
sich allerdings in Beziehung auf jede von beiden nach den vorher 
gehenden Vorschriften auflösen lassen. So erhält man z. B. aus 
der Gleichung I. 4x—5y=9 die beiden Werthe: 
0) x= ±^L unH 2 )y =-*5=i, 
Da hier aber in dem Ausdruck jeder Unbekannten die andere Unbe 
kannte vorkommt, also keine von beiden wirklich bestimmt wird, so ist 
eine eigentliche Auflösung (nach §. 59.) für eine Gleichung mit 
zwei Unbekannten gar nicht möglich. Anders verhält es sich, wenn 
eine zweite Gleichung mit den nämlichen Unbekannten gegeben ist; 
z. B. II. 3x-i-2y =20, woraus sich wiederum zwei Werthe ergeben: 
20—2y . _ 20—3x 
3 
(3) x= 
und (4)y—- 
Denn da nunmehr jede der Unbekannten auf zweifache Art aus 
gedrückt ist, so erhält man durch Gleichsetzung von (1) und (3) oder 
auch von (2) und (4) eine Gleichung, worin nur eine Unbekannte 
vorkommt und die daher (nach §. 60.) aufzulösen ist. 
Aus (1) und (3) folgt 
9 + 5y 
4 
20—2y „ 7 
— 3 , also y— 2 23. 
4 x — 9 
20 — 3x .. „ 3 
Aus (2) und (4) folgt 
5 
— 2 ' x — ^23* 
Außer dem, im Vorstehenden bezeichneten Verfahren der Auflösung, 
welches man die CombinationSmethode zu nennen pflegt, giebt eS 
noch zwei andere Methoden, einfache Gleichungen mit zwei Unbe 
kannten aufzulösen. Man kann nämlich entweder den aus der Glei 
chung I. erhaltenen Werth von x oder y in II. substituiren; oder