6. Capitel. Proportionen.
ionen. §. 65.
§. 67.
65
sind 3240 Pfund
egen 2760 Pfund
halten. Wie viel
orte mit einer 3|
aunsiein, Schwe-
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Sprachgebrauche,
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che oder geome-
- oder Q-uotien
sarten können die
e (a und d) und
md c) und näch
ze nach als erstes,
zweites, drittes und viertes Glied in den, aus ihrer Betrachtung sich
ergebenden, Lehrsätzen unterschieden werden.
§. 66. Differenzgleichungen. Die allgemeine Form der
Differenzgleichungen (arithmetischen Proportionen) d. i.
I. a — b = c — d,
erlaubt einige Umgestaltungen, die als Lehrsätze ausgesprochen werden
können; nämlich
(1) a ~t- d = b H- c, d. h.
1. die Summe der äußern ist der Summe der innern
Glieder gleich.
(2) a — c = b — d; d. h.
2. die Differenz der vorangehenden ist der Differenz
der nachfolgenden Glieder gleich.
In dem besondern Falle, daß in den mittlern Gliedern dieselbe Größe
sich wiederholt, wird diese das arithmetische Mittel zwischen den
äußern Gliedern und die Differenzgleichung eine stetige (stetige
arithmetische Proportion) genannt. Dann wird der zweite der
vorstehenden Ausdrücke, weil der Voraussetzung gemäß
a — b = b — d,
(3) a + d = 2b, also b — , d. h.
3. Das arithmetische Mittel zwischen zwei Zahlen ist
ihrer halben Summe gleich; z. B. wenn a—15, d—27
gegeben wäre, b = j (15 + 27) = 21.
(S. Aufg. 1-6, §. 70.)
§. 67. Verhält«ißgleichungen. Ungleich wichtiger ist die
Form a : b == c : d, worin zwei Quotienten einander gleichgesetzt
werden, namentlich wegen ihrer vielfachen Anwendung auf Betrach
tungen der Geometrie, weshalb man sie denn auch vorzugsweise eine
geometrische Proportion genannt hat. Ist überhaupt von einer
Proportion (ohne den Zusatz arithmetisch oder geometrisch) die
Rede, so wird darunter in der Regel eine solche Form verstanden,
und es wäre angemessen, das Wort allein in dieser Bedeutung
zu gebrauchen, um die Irrungen zu vermeiden, welche leicht entstehen,
wenn man dem nämlichen Worte in der Kunstsprache der Mathe
matik zwei ganz verschiedene Bedeutungen beilegen darf. Aus
dem nämlichen Grunde sollte man das Wort Verhältniß nie
gleichbedeutend mit Differenz gebrauchen, sondern lediglich folgende
Erklärung davon gelten lassen:
Ein Verhältniß ist die Angabe durch Zahlen, wie oft ein be
liebiges gemeinschaftliches Maaß in zwei gleichartigen Größen ent
halten sei. So sagt man z. B., die Linie A verhalte sich zur Li
nie L, wie 5 zu 20, wenn irgend ein Längenmaaß 5 mal in der er
sten, und 20mal in der zweiten enthalten ist. Beide Zahlen werden
TMqmpf's Mgtheniqtik. 4. Aufl. H