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1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §. 68. 
Glieder des Verhältnisses genannt, und eine dritte Zahl, welche 
angiebt, wie oft das erste Glied in dem zweiten enthalten ist, 
heißt der Factor des Verhältnisses, indem man durch diese Zahl das 
erste multipliciren muß, um das zweite zu bilden. So ist 
4 der Factor des Verhältnisses 5 zu 20, | derjenige des Verhält- 
niffes 16 zu 12. Von diesem Factor unterscheidet sich der Quotient 
des Verhältnisses als die Zahl, welche angiebt, wie oft das zweite 
Glied im ersten enthalten ist. Factor und Quotient des näm 
lichen Verhältnisses müssen also (nach §. 38) stets entgegengesetzte 
Factoren sein. (S. Aufg. 7 u. 6, §. 70). 
Da nun aber die Division zwei gleichartiger Zahlen (nach 
§. 14, 1) gleichfalls als eine Messung angesehen werden muß, 
wobei mau anzugeben hat, wie viel mal die eine Zahl (der Divisor) 
in der andern (dem Dividend) enthalten ist, so kann das Verhält 
niß zweier Zahlen a und b als gleichbedeutend mit dem Ausdruck einer 
solchen Division, und folglich durch a : b oder (nach §. 22.) durch 
angedeutet werden. Was früher über die Veränderung der 
Bruch- oder Quotientenform (§. 23.) gesagt worden, gilt demnach 
auf gleiche Weise von dem Verhältniß zweier Zahlen, wonach ein 
solches ungeändert bleibt, wenn man beide Glieder desselben mit der 
nämlichen Zahl multiplicirt oder dividirt. So ist z. B. 
s : ab = 2a : 2ab — |a : |ab, allgemein = ka : kab, oder 
3 : 9 — 6 : 18 — 21 : 63 «. s. f. Verhältnisse, wie die vorstehen 
den, sind einander gleich, wenn der Factor (wie hier z. B. b 
oder 3) in allen der nämliche ist. Eine Verhältnißgleichung ent 
steht durch Zusammenstellung zwei gleicher Verhältnisse. 
Stellt man deren drei oder mehre zusammen, so wird die Verhält- 
nißgleichung eine fortlaufende genannt. (S. Aufg. 9—13, §. 70). 
§. 68. Lehrsätze über Verhältnißgleichungen. Unter 
den mannigfachen Umgestaltungeri, welche die allgemeine Form aller 
Verhältnißgleichungen (geometrischen Proportionen): 
(H.) oder a : b = c : d 
zuläßt, sind vorzüglich folgende als die einfachsten und unaufhörlich 
zur Anwendung kommenden zu beachten: 
(1) ad — bc; d. h. 
1. Die Producte der äußern und der innern Glieder 
sind einander gleich. 
Anmerkung. Dieser Satz läßt sich nicht allein durch Transpositivn 
(nach §. 55. L. 4.), sondern auch aus der Form a:sk---v:ok einer 
Verhältnißgleichung beweisen, da, (nach §. 12.) sxvt---akxv ge 
setzt werden darf.