Schief winkelige Koordinaten 
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Aus der Identität: 
A x x + B x y + C\z, B x , C x 
D X B X C x 
A^x + B 2 y -f- C 2 z, B 2 , C 2 
= 
A 3 x + B 3 y + C 3 z, B 3 , 6 3 
folgt nämlich nach 7. und 5.: 
WA 
A x x, B x , 
Cx 
(26) 
D 2 B 2 C' 2 
= 
A%x, B 2 , 
<? 2 
D 3 B 3 C 3 
A 3 x, B 3 , 
<?3 
und entsprechend für y und z: 
AyDyCy 
AyByDy 
A 2 B 2 C 2 
II 
£ 
a 2 b 2 d 2 
Ä 3 D 3 C 3 
A 3 B 3 D 3 
Falls D x , D 2 und D z verschwinden, so müssen hiernach ent 
weder auch x, y und z oder A verschwinden. Wir erhalten daher 
das Resultat: 
Wird ein System von drei homogenen linearen Gleichungen 
A { x + B.y + C i z = 0 (i = 1, 2, 3) durch ein System von Werten be 
friedigt, die nicht sämtlich verschwinden, so muß die Determinante 
A = 0 sein. 
Gleichung (IX) ist offenbar eine Anwendung dieses Satzes, da 
hier jedenfalls z — — 1 ist. Wir bemerken noch, daß die Formel 
für den Flächeninhalt des Dreiecks P X P 2 P 3 auf S. 37 in 
Determinantenform geschrieben lautet: 
2AP X P X P 3 
X 31/3 1 
Hiernach kann auch die Gleichung einer Geraden durch drei 
Punkte leicht in Determinantenform geschrieben werden. 
Was die Umsetzung unserer Entwickelungen in ein schief 
winkeliges Koordinatensystem betrifft, so ist zunächst leicht 
zu sehen, daß die Formeln (I), (II), (VII), (IX), (X), (20) und (22) 
in derselben Bedeutung bestehen bleiben, wenn x und y schief 
winkelige Parallelkoordinaten bedeuten. Soll der Winkel & der 
beiden Geraden gefunden werden, deren Gleichungen in schief 
winkeligen Parallelkoordinaten: 
(27) 
Afx' + Bfy' = Cf, 
Afx' + Bfy'