Schnittpunkte des Kreises mit einer Geraden 
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Soll daher dieser Ort ein Kreis mit dem Mittelpunkte (p, q) 
sein, so dürfen sich die beiden Wurzeln dieser Gleichung für jeden 
Wert von y nur durch das Vorzeichen unterscheiden, oder der 
Koeffizient von 2 x' muß für jeden Wert von y verschwinden; hieraus 
folgt für y = 0 resp. 90°: 
(6) 
Setzen wir diese Werte in (3) und (4) ein und zugleich y = 0, 
so geht Gleichung (4) nach Division durch A in: 
(7) 
+ [y + 
E_y 
* ) 
D 2 + E 2 - AF 
“I 2 “ 
über, welche nach Auflösung der Klammern und Multiplikation mit 
A offenbar mit (2) identisch wird. Durch Gleichung (2) ist folglich 
( D JE\ 
— —, —und 
dem Radius Jj- ]/1) 2 + F 2 — AF dargestellt, sobald D 2 + F 2 > AF ist. 
Ist D 2 + E 2 < AF, so kann offenbar Gleichung (7), also auch Glei 
chung (2) durch kein reelles Wertsystem von x und y befriedigt 
werden, weil die Summe von Quadraten reeller Größen niemals 
negativ werden kann. Da eine solche Summe aber auch nur dann 
verschwinden kann, wenn die einzelnen Summanden verschwinden, 
so kann Gleichung (7) oder (2) in dem Falle, daß D 2 + E 2 = AF ist, 
nur dann befriedigt sein, wenn x — —y = — der Kreis 
zieht sich also dann auf seinen Mittelpunkt zusammen. Wir be 
merken noch, daß Gleichung (2) für den Fall A = 0, der ja hier 
ausgeschlossen ist, aber in den Anwendungen doch eintreten kann, 
eine Gerade darstellt. Wir erhalten so das Resultat: 
22. Die Gleichung: 
(II) A {x 2 + 7/ 2 ) + 2Dx + 2Fy + F = 0 
und dem Radius 
stellt einen Kreis mit dem Mittelpunkte 
F % — AF dar, der nur dann reell und von einem Punkte ver- 
D_ 
A 
schieden ist, wenn D 2 + E“ 2 > AF ist. 
Gleichung (5) führt uns, wie schon erwähnt wurde, zur Lösung 
der Aufgabe, die Schnittpunkte des Kreises (I) mit der Ge 
raden (Fig. 35): 
(8) x cos S + y sin S = d 
zu bestimmen. Wir haben dann nämlich zu setzen (vergl. auch S. 26):