Convergenza delle serie di Fourier 
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tutto (0, 2rc) (*), allora la serie di Fourier della f(x) è assoluta- 
mente convergente in tutto (0, 2te) ( 2 ). 
Ed infatti, con un’ integrazione per parti, si ha 
2tt 
2 tt 
j f(oc) cos noi doi — 
b 
1 
~ unì f 
0 
27T 
2tt 
— f /> 
7mJ 
j /(a) sen noi don — 
se quindi indichiamo con a n ' e b n r i coefficienti di Eulero- 
Fourier della derivata f(x), abbiamo, per n= 1, 2,..., 
j 0/ n — nb n , 
ì bn — — na n . 
Ma dall’integrabilità di \f’(x)\ p segue, per il n.° 87, 6), la con 
vergenza assoluta delle serie 
Sono dunque assolutamente convergenti le serie 26„ e ; 
e da ciò segue l’assoluta convergenza della serie di Fourier 
della f(x), in tutto (0, 2n). 
Osservazione. — Analogamente a quanto abbiamo detto 
nel n.° 90, c), possiamo osservare che, se, nell’enunciato pre 
cedente, abbandoniamo l’ipotesi /(0) = f(2n), la serie 2 | a n j 
risulta ancora convergente, ma, invece della 2 | b n |, risulta 
convergente la serie 
Tj b n 4- 
f{2n) - /-(0) 
Tin 
b) Corollario. — Se la funzione f(x) è continua, soddisfa 
alla condizione f( 0) = /(2 re), ed ha derivata finita e continua 
(od anche soltanto limitata) esclusi gli intorni dei punti x { , 
cc 2 ,...., x m , ed è sempre (esclusi i punti x v , x,x m ) 
i/»i< 
M 
X X i |*> j X X. 2 I st2 .... ] x — X m |*«1 ’ 
( J ) Là dove la f'(x) non esiste finita, si porrà f'(x) — 0. 
( 2 ) L. Tonellj, Sulla convergenza assoluta delle serie di Fourier. (Remi. 
R. Aeead. Lincei, Voi. II (1925), pp. 145-149).