Convergenza delle serie di Fourier 
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naria. Ora, sviluppando in serie di potenze di z, abbiamo 
e la serie qui scritta ha il coefficiente di z n che tende a zero per n—~ co. 
E siccome la funzione del primo membro è regolare in tutti i punti della 
circonferenza | z | = 1, eccettuato z—t, ne viene che la serie trigonometrica 
che rappresenta il coefficiente della parte immaginaria del secondo membro 
di (1), per | z I = 1, è convergente per tutti i valori di x tali che 0 < x < 2k. 
Essa è poi convergente, evidentemente, anche per x — 0 e x — 2r. ; ed è la 
serie di Fourier della funzione data f(x) = x. 
Va poi notato che, comunque si sia dimostrata la conver 
genza della serie di Fourier della f(x), in un punto x, la somma 
della serie è uguale a f(x), se questa funzione è continua nel 
in x, una discontinuità di l. a specie (n.° 75). 
6) Il secondo dei metodi indicati in a) è quello più lar 
gamente usato. Esso ammette anche un più ampio sviluppo, del 
quale appunto vogliamo occuparci nel presente §. E precisa- 
mente, vogliamo giungere a nuovi teoremi, che permettano di 
stabilire la convergenza della serie di Fourier in base alle pro 
prietà della funzione generatrice f(x), ed ai quali teoremi si 
possa far ricorso quando non risultino applicabili quelli dei 
n.* 42, 43, 96 e 97. 
Fra i teoremi or ora indicati e quelli che dimostreremo, 
esiste una differenza essenziale, che merita di essere subito 
rilevata. Nei teoremi dei n. 1 42, 43, 96 e 97, si fa appello alle 
proprietà della funzione generatrice f(x) in tutto l’intervallo 
(0, 2n), e si stabilisce la convergenza della serie di Fourier 
simultaneamente in tutti i punti di (0, 2tz) — esclusi al più 
alcuni punti singolari isolati, in numero finito. I nuovi teo 
remi, invece, muovono da un fatto notevole, messo in evidenza 
da Riemann, e cioè che la convergenza della serie di Fourier, 
in un dato punto x 0 , dipende unicamente dalle proprietà della 
funzione generatrice f(x) nell’ intorno del punto considerato (*) ; 
(9 V. più oltre n.° 101.