Convergenza delle serie di Fourier 
31B 
Dalla (3') del n.° 115, ricaviamo, ponendovi cos (2w-h l)s 
cos 2nz cos z — sen 2nz sen z, 
tt.2 
(1) s*(a?) ==^b 0 -h- j [f(x -+- 2z) — f(x — 2z)\ cotg z[ 1 — cos 2nz\ dz 
o 
rr:2 
-f- — | [f(x -+- 2z) — f(x — 2z)] sen 2nz dz. 
Ti fj 
0 
Ma, per il teorema del n.° 76, si ha 
n:2 
lim — | [f(x + 2z) — f(x — 2z)\ sen 2nz dz = 0, 
e perciò il comportamento di s*(as), per n—-oo, dipende esclu 
sivamente dal comportamento del primo integrale di (1). 
Se x Q è un punto di discontinuità di l a specie per la f(x), 
possiamo supporre, senza limitazione della generalità del ri 
sultato f(x 0 +0) — f(x 0 — 0) — d > 0. È allora, per a > 0 e suf- 
d 
ficientemente piccolo, f(x 0 -+- 2z) — f(x Q — 2z) > ^ per 0 <; z < a-, 
e perciò 
7t:2 
J [f(x -b 2z) — f(x — 2z)\ cotg z [1 — cos 2nz\ dz 
0 
G 
d C 
> g J c °tg z [1 — cos ~h 
o 
7i:2 
-+-J [f( x •+■ 2s) — /(x — 2s)] cotg 2 [1 — cos 2nz] dz. 
G 
Per n—~ oo, l’ultimo integrale scritto tende ad un limite finito. 
Il penultimo, invece, è maggiore di 
G G 
Jcotg z dz —Jcotg z cos 2nz dz (*), 
(*) Il secondo di questi integrali tende a zero per n—~ oo, in virtù del 
teorema del n.° 76.