Convergenza delle serie di Fourier 
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Osserviamo che è 
7t:2 
fi — cos 2 nz 
(r+l)7T 
0 0 
e quindi, essendo 
<fe=('-!~ coss ds=y. f 
1 — COS z 
dz 
(r+l)7t 
J*(l — cos z)dz = ti, 
si ha, da una parte, 
7t:2 
J 
1 — cos 2nz 
dz < 
J 
' 1 — cos z 
dz 
n— 1 ’ 
e dall’ altra 
7::2 
’ 1 — cos 2nz , . 1 
— ite > 1+ 2 
7i ; 
1 
o 
E siccome è, per tì—oo, 
(i + Ì + .". + l) :log „„ 1) 
ne viene 
(5) 
lim , 
n —► oo log il 
7t:2 
1 fi — cos 2 nz 
J 
dz = 1. 
In base a ciò, la (4) equivale alla 
7i:2 
(6) 
1 • 1 f ( ! / i ,, 1 — cos 2nz n 
— - * = °- 
Ora, preso ad arbitrio un e > 0, scegliamo un a > 0 in modo 
che, per 0 < z <; a, sia | — d | < e. Avremo così 
log 
ir:2 a 
1 f, W V — cos % nz 7 £ f 1 — cos 2 nz , 
— I 4(«) — d dz < . I d; 
£ n J ' 2! log n J 2 
7i:2 
~K 
a log n 
I I<H») — d\dz,