Convergenza delle serie di Fourier 
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finito il limite (1), in x 0 la f(x) deve ancora essere continua (* *). 
Dunque, sia per dimostrare che la condizione enunciata è ne 
cessaria, sia per dimostrare che essa è sufficiente, dobbiamo 
ammettere che la f(x) sia continua in x 0 . 
Osserviamo poi che, essendosi supposta la f(x) a variazione 
limitata nell’ intorno del punto x 0 , anche la funzione di z, 
f(x 0 -+- 2z) — f(x 0 — 2z) risulta a variazione limitata, nell’ in 
torno del punto z — 0; potremo dunque scrivere, in tutto un 
intervallo (0, z t ), con 0* >0, 
<M«) = f( x 0 -H 2«) — fi x 0 — 2z) 
= P(z)-N(z), 
con P(z) e N(z) funzioni non decrescenti, che, per z — 0, sono 
nulle (perchè è <J;(0) = 0) e continue. 
Ciò premesso, e fissato un e > 0, determiniamo un a, posi 
tivo e minore tanto di tt : 2 quanto di z { , in modo che, per 
ogni z di (0, a), sia 
I I < ^ 
P(z) < s, N(z) < e. 
Allora, avremo, supponendo no l < n, 
o 
(4) 
o 
Avremo, poi, applicando il secondo teorema della media, e sup 
ponendo (n -+- 1) o l > tc, 
z cos 2nz dz 
P) Cfr. il ragionamento fatto nel n.° 117. 
(*) È Oj < a' < a" < a.