Serie trigonometriche generali 
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sono in numero finito, essi, rappresentati sulla circonferenza 
di raggio 1, costituiscono i vertici di un poligono regolare. Se, 
invece, in (0, 2te) vi sono infiniti punti di convergenza assoluta, 
l’insieme di tali punti è uniformemente denso in tutto l’inter 
vallo considerato, vale a dire, ha infiniti elementi in qualsiasi 
intervallo parziale di (0, 2rc). Ciò si vede immediatamente os 
servando che, se vi sono in (0, 2n) infiniti punti di convergenza 
assoluta, tali infiniti punti hanno almeno un punto di conden 
sazione (o punto limite) e quindi, preso ad arbitrio un e ;> 0, 
vi sono sempre due di tali punti, x l e x 2 , distanti fra loro per 
meno di e. Ed allora, costruendo il simmetrico x 2 -t- (x 2 — x { ) 
di x v rispetto a x 2 , poi il simmetrico x 2 -+- 2 (x 2 —x { ) di x 2 
rispetto a x 2 -+- (x 2 — se,), e così via, si ottiene che, in ogni in 
tervallo parziale di (0, 2n), di ampiezza s, vi è almeno un punto 
di convergenza assoluta. E siccome e è arbitrario, l’afferma 
zione fatta è provata. 
Osserviamo pure che, per poter asserire l’esistenza in (0, 2n) 
di infiniti punti di convergenza assoluta per la (1), basta 
constatare che di tali punti ne esistono due, x { e x 2 , tali che 
x 2 — se, sia incommensurabile con te. Ed infatti, poiché tutti i 
punti della forma x { -\-k{x 2 — x t ), con k intero, risultano punti 
di convergenza assoluta (per il teorema sopra dimostrato), e 
poiché, per essere x 2 — x { incommensurabile con u, due qua 
lunque di tali punti non risultano mai fra loro congrui rispetto 
al modulo tc, ne viene che i punti dell’ intervallo (0, 2n) che 
sono congrui, rispetto al modulo 2n, ai punti x l -\-k(x 2 —x { ), 
risultano fra loro distinti. Nell’ intervallo (0, 2tc) si hanno così 
infiniti punti di convergenza assoluta per la (1). 
Vogliamo ora dedurre un’ulteriore conseguenza dal teorema 
dimostrato nel n.° presente. 
Supponiamo che la serie (1) abbia, in (0, 2te), un numero 
infinito di punti di convergenza assoluta, e che, in un inter 
vallo (c, d), essa sia ovunque convergente. Allora, scelti due 
punti x i e x 2 (con x L < x 2 ) di convergenza assoluta, tali che sia 
Q 
x, — x l <C —£—? P er un certo k, intero, l’intervallo [x l -\-k{x 2 —x { ), 
x l -\-{k~\-l)(x 2 — a?,)] risulterà interno a (c, d). E poiché tutti i 
punti della forma x l -\-k(x 2 — x { ) sono punti di convergenza 
assoluta, e, come tali, punti di simmetria per l’insieme dei 
punti di convergenza della (1), ne viene che la (1), essendo con-