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Serie doppie di Fourier 
aritmetica dei quattro limiti f(x ± 0, y ± 0), in ogni punto in 
cui tali limiti esistono finiti ( r ). 
Procedendo come si è fatto, nel n.° 59, nel caso delle fun 
zioni di una sola variabile, indichiamo con 0(ìu, y) una funzione 
qualsiasi definita in Q. Posto 
(1) cp(u, v) = F(x + 2u, y 4- 2v) — 4d>(a?, y), 
dove è, come al solito, 
F (x 4- 2u, y 4- 2v) = f(x -+-2u, y 4- 2v) 4- f(x — 2u, y 4- 2v) 4- 
4- f(x — 2u,y — 2v) 4- f{x 4-2u, y — 2v), 
abbiamo, per le (3) e (4) del n.° 184, 
7t:2 ti:2 
-*■ » - J*. *■ 
0 0 
Supponendo ora che, in un dato punto [x, y), esista finito 
il limite cp(4-0, 4-0) e che esso sia nullo, preso ad arbitrio 
un e > 0, possiamo determinare un 8 positivo e minore di tu:2, 
in modo che, per 0 < 8, 0 Ct? < 8, risulti \y(u,v)\<L e. 
Avremo, allora, 
S 5 
(2) 
y) — $1®,y)\ <j J| 
sente 
0 0 
sen uttr/sen vtn , 
1 ' —— du dv 
sen v 
4- 
-4— (T| <p(w, «) | dv, 
J ' \ sen u ) \ sen v ) 
dove T è la parte che resta nel quadrato di vertici opposti (0, 0) 
e (tu;2, tu;2) dopo avervi asportato il quadrato di vertici opposti 
(0, 0) e (5, 8). Il primo termine del secondo membro della disu 
guaglianza scritta è, per la (4) del n.° 184, minore di e, ed il 
secondo termine tende a zero, quando ^ j — co, in virtù del 
(i) Cfr. C. Y. Moore, The summability of thè doublé Fourier series, 
with applications. (Bulletin of thè Amer. Math. Soc., Voi. 18 (1912), p. 223); 
W. H. Young, On Multiple Fourier Series. (Proc. London Math. Soc. (2), 
Voi. 11 (1912), pp. 133-184).