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Capitolo nono 
n.° 185, c). Dunque, nel punto (x, y) considerato, per tutti i p e v 
entrambi maggiori di un certo numero N, è 
l a i*,v(®, y') — $(as, y) [<2e, 
vale a dire, per ^ 
y)S>{x, y). 
Se {x, y) è un punto di continuità per la f(x, y), ponendo 
y) — f(x, y), abbiamo che cp(4- 0, 4-0) esiste ed è uguale 
a zero ; è perciò, in tale punto, per ^ | — oo, 
a ,x,vK y)~f{x, y). 
Se, in (x, y), esistono finiti i quattro limiti f(x ±0, i/± 0), 
ponendo <D(o7, y) = ^ S f(x =t 0, y ± 0), esiste ancora 9(4- 0, 4-0) 
ed è uguale zero ; e, pertanto, in tale punto è 
v{x, y)~| S f{x ± 0, y =fc 0). 
Il teorema è così provato pienamente. 
b) Possiamo aggiungere che [ferme restando le ipotesi 
poste in a)], se in (x, y) esiste finito il limite F(x 4-0, y 4-0), 
prendendo y) = F(x 4- 0, y 4- 0), si ha 
v {x, y) F(x 4- 0, y 4- 0). 
Ciò avviene, in particolare, in ogni punto (x, y) per il quale 
esistono finiti i due limiti f l e f 2 di f(x', y) per (x r , y') ten 
dente ad [x, y) restando sempre, rispettivamente, al disotto e 
al disopra di una data retta passante per [x, y). In questo 
caso è F(x 0, y 4- 0) = 2(/, 4- /2) e perciò 
( 3 ) + /*)• 
c) Un altro caso interessante, è il seguente. 
Supponiamo che, nel punto (x, y), esistano finiti i limiti 
fi e / 2 di f(x\ y') per [x', y') tendente ad (x, y) restando sempre,