Serie doppie di Fourier 
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rispettivamente, al disotto e al disopra di una data curva C, 
passante per [x, y) ed avente in tal punto una tangente non 
parallela agli assi delle coordinate. Allora, sempre sotto la 
condizione posta in a) per la funzione, vale ancora la (3) (*). 
Indichiamo, infatti, con y il coefficiente angolare della 
tangente, nel punto (x, y), alla curva G, e supponiamo, per 
fissare le idee, y > 0. Nel quadrato di vertici opposti (0, 0) 
e (5, 8), del piano (u, v), vengono ad aversi due curve C l , C 2 
(formate con archi della C e della simmetrica della C rispetto 
al punto (x, y)), uscenti ambedue dal punto (0, 0) con tangente 
di coefficiente angolare y, in modo che, quando il punto (u, v) 
tende a (0, 0) restando al disotto od al disopra di ambedue le 
curve, F(x -fu, y q- v) ammette un limite determinato e finito, 
uguale precisamente a 2(/, q- / 2 ). Indicando con Q il campo 
contenuto nel quadrato di vertici opposti (0, 0) e (S, 8) e com 
preso fra le due curve C l , C. 2 , per 8 sufficientemente piccolo, 
si ha, in ogni punto interno ad £2, 
F(x +- 2u, y q- 2v) | < 3( | \ F-1 f s | ) +■ 1 ; 
pertanto, prendendo $)(x, y) = (f { F- f 2 ):2, ponendo M=ò(\f l \ q- 
1 /g | ) q- 1, e supponendo 8 sufficientemente piccolo, si ottiene, 
invece della (2), 
'sen \iuV(sen vv 
(4) I o^ v {x, y) — ®{x, y)\<-±- 
du dv q- 
sen u \ sen v 
0 0 
o 
Il primo termine del secondo membro è sempre minore di e, 
e l’ultimo termine è minore di e per tutti i ¡1 e v maggiori 
(i) C. IN'. Moore, On the Summability of the Double Fourier’s Series 
of Discontinuous Functions. (Math. Ann., Bd. 74 (1913), pp. 553-572). Se la 
tangente alla curva C, nel punto considerato (x, y), fosse parallela ad uno 
degli assi coordinati, la (3) potrebbe non essere vera.